【線形代数】8-1-2 実ベクトルの長さ｜問題集
1.実ベクトル空間\(P_2(\mathbb{R})\)における内積を\(\displaystyle (f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)dx\)で定める。次のベクトルの長さを求めなさい。
(1)\(3x-4\)
与えられたベクトルを\(f(x)\)とおくと
\(\displaystyle \|f\|^2=\int_{-1}^1(3x-4)^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(9x^2-24x+16)dx\)
\(\displaystyle =2\int_0^1(9x^2+16)dx\)
\(=2\left[3x^3+16x\right]_0^1\)
\(=38\)
よって、\(\|f\|=\sqrt{38}\)
\(\displaystyle \|f\|^2=\int_{-1}^1(3x-4)^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(9x^2-24x+16)dx\)
\(\displaystyle =2\int_0^1(9x^2+16)dx\)
\(=2\left[3x^3+16x\right]_0^1\)
\(=38\)
よって、\(\|f\|=\sqrt{38}\)
(2)\(x^2+2x+3\)
与えられたベクトルを\(f(x)\)とおくと
\(\displaystyle \|f\|^2=\int_{-1}^1(x^2+2x+3)^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x^4+4x^3+10x^2+12x+9)dx\)
\(\displaystyle =2\int_0^1(x^4+10x^2+9)dx\)
\(\displaystyle =2\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+9x\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{76}{3}\)
よって、\(\displaystyle \|f\|=\frac{2\sqrt{57}}{3}\)
\(\displaystyle \|f\|^2=\int_{-1}^1(x^2+2x+3)^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x^4+4x^3+10x^2+12x+9)dx\)
\(\displaystyle =2\int_0^1(x^4+10x^2+9)dx\)
\(\displaystyle =2\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+9x\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{76}{3}\)
よって、\(\displaystyle \|f\|=\frac{2\sqrt{57}}{3}\)
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