【線形代数】7-1-2 固有空間｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「固有空間」の定義から、具体的な求め方、次元の性質、固有空間の直和性まで分かりやすく解説します。さらに、行列の固有空間の計算や、線形変換（微分作用素など）における固有空間の基底を求める実践的な例題を通じて、理解を深めることができます。
固有空間
【固有空間】
\(A\in M_n(\mathbb{C})\)とし、\(\lambda\in\mathbb{C}\)を\(A\)の固有値とする。このとき
\(V(\lambda)=\{v\in\mathbb{C}^n|Av=\lambda v\}\)
とおき、\(V(\lambda)\)を\(A\)の固有値\(\lambda\)の固有空間という。
【固有空間の直和性】
\(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_m\in\mathbb{C}\)を\(A\in M_n(\mathbb{C})\)の相異なる固有値とする。このとき
\(V(\mu_1)+V(\mu_2)+\cdots+V(\mu_m)\)
が成り立つ。
【固有空間の次元】
\(\mu\)を\(A\in M_n(\mathbb{C})\)の固有値とし、\(l\)を\(\mu\)の重複度とする。このとき
\(1\leqq \dim V(\mu)\leqq l\)
が成り立つ。つまり、固有空間\(V(\mu)\)の次元は\(\mu\)の重複度を超えることはない。
【例題】次の行列の固有値と固有空間の次元と基底を求めなさい。
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x+2 & -2 & -2 \\ 0 & x-2 & -4 \\ 0 & 1 & x+3\end{vmatrix}\)
\(=(x+2)\begin{vmatrix}x-2 & -4 \\ 1 & x+3\end{vmatrix}\)
\(=(x+2)(x^2+x-2)\)
\(=(x-1)(x+2)^2=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=1,-2\)
・固有空間\(V(1)\)のとき、
\((A-E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A-E=\begin{pmatrix}-3 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -4\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}-3 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-2 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(V(1)\)の基底として\(\begin{pmatrix}-2 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれ、\(\dim V(1)=1\)
・固有空間\(V(-2)\)のとき、
\((A+2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}0 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \\ 0 & -1 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (s,t\in\mathbb{R})\)
よって、\(V(-2)\)の基底として\(\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれ、\(\dim V(-2)=2\)
線形変換の固有値・固有ベクトル
【線形変換の固有値・固有ベクトル】
\(\lambda\in\mathbb{K}\)が\(f\)の固有値であるとは
\(f(v)=\lambda v\)
となる零でないベクトル\(v\in V\)が存在することである。このとき、\(v\)を\(\lambda\)に対する\(f\)の固有ベクトルという。
【例題】2変数\(x\)と\(y\)についての二次斉次実多項式全体のなす実ベクトル空間を\(V\)としたとき、\(D\)の固有値と固有空間の基底を求めなさい。
線形変換\(D:V\longrightarrow V\)を
\(\displaystyle D(u)=y\frac{\partial u}{\partial x}+x\frac{\partial u}{\partial y}\ \ (u=u(x,y)\in V)\)
この基底を\(D\)で写すと
\(D(x^2)=2xy\)
\(D(xy)=x^2+y^2\)
\(D(y^2)=2xy\)
すなわち、
\([D(x^2),D(xy),D(y^2)]=[x^2,xy,y^2]\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(x)=\begin{vmatrix}x & -1 & 0 \\ -2 & x & -2 \\ 0 & -1 & x\end{vmatrix}\)
\(=x^3-4x\)
\(=x(x-2)(x+2)=0\)
より、\(A\)の固有値は\(\lambda=0,2,-2\)
・固有空間\(V(0)\)のとき、
\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(V(0)\)の基底として\(\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(V(2)\)の基底として\(\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(-2)\)のとき、
\((A+2E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -2\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(V(-2)\)の基底として\(\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\)