【線形代数】6-5-2 表現行列の性質｜問題集
1.線形変換\(D:P_2(\mathbb{R})\longrightarrow P_2(\mathbb{R})\)のとき、\(\mathrm{Ker}D\)の次元と基底を求めなさい。
\(D(f(x))\)
\(\displaystyle =2\frac{df(x)}{dx}+(2x+1)f(2)\)
\(\displaystyle =2\frac{df(x)}{dx}+(2x+1)f(2)\)
\(P_2(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2]\)に関する\(D\)の表現行列\(A\)を求める。
この基底を\(D\)で写すと
\(D(1)=1+2x\)
\(D(x)=4+4x\)
\(D(x^2)=4+12x\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mathrm{Ker}T_A\)は斉次連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間なので、
\(\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は
\(\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-8 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(\dim\mathrm{Ker}D=1\)で基底は \(\begin{pmatrix}-8 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
この基底を\(D\)で写すと
\(D(1)=1+2x\)
\(D(x)=4+4x\)
\(D(x^2)=4+12x\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mathrm{Ker}T_A\)は斉次連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間なので、
\(\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は
\(\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}-8 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(\dim\mathrm{Ker}D=1\)で基底は \(\begin{pmatrix}-8 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
2.線形変換\(D:P_2(\mathbb{R})\longrightarrow P_2(\mathbb{R})\)のとき、\(\mathrm{Ker}D\)と\(\mathrm{Im}D\)のそれぞれの次元と基底を求めなさい。
\(D(f(x))\)
\(=(x^2-x-2)f''(x)+(x^2+x)f'(x)+(-2x+1)f(x)\)
\(=(x^2-x-2)f''(x)+(x^2+x)f'(x)+(-2x+1)f(x)\)
\(P_2(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2]\)に関する\(D\)の表現行列\(A\)を求める。
この基底を\(D\)で写すと
\(D(1)=-2x+1\)
\(D(x)=-x^2+2x\)
\(D(x^2)=5x^2-2x-4\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mathrm{Ker}T_A\)は斉次連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間なので、
\(\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -10 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は
\(\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(\dim\mathrm{Ker}D=1\)で基底は \(\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\mathrm{Im}T_A\)は\(A\)の列ベクトルで生成される部分空間なので、
\(\mathrm{Im}T_A=\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\rangle\)
\(a_1,a_2,a_3\)の中から最大個数の一次独立の組を選ぶ。
解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
\(t=1\)とおくと、
\(4a_1+5a_2+a_3=\mathbf{0}\)
\(a_3=-4a_1-5a_2\)
すなわち、\(\mathrm{Im}T_A=\langle a_1,a_2\rangle\)が成り立つ。また、
\(x_1a_1+x_2a_2=\mathbf{0}\)
とおくと、\(x_1=x_2=0\)のみを解にもつので、\(a_1,a_2\)は一次独立である。
よって、\(\dim\mathrm{Im}T_A=2\)で基底は \(\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix},\mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}\)
この基底を\(D\)で写すと
\(D(1)=-2x+1\)
\(D(x)=-x^2+2x\)
\(D(x^2)=5x^2-2x-4\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mathrm{Ker}T_A\)は斉次連立一次方程式\(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\)の解空間なので、
\(\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -10 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & -1 & 5\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
解は
\(\mathbf{x}=t\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
よって、\(\dim\mathrm{Ker}D=1\)で基底は \(\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\mathrm{Im}T_A\)は\(A\)の列ベクトルで生成される部分空間なので、
\(\mathrm{Im}T_A=\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\rangle\)
\(a_1,a_2,a_3\)の中から最大個数の一次独立の組を選ぶ。
解は
\(\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}4 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}\ \ (t\in\mathbb{R})\)
\(t=1\)とおくと、
\(4a_1+5a_2+a_3=\mathbf{0}\)
\(a_3=-4a_1-5a_2\)
すなわち、\(\mathrm{Im}T_A=\langle a_1,a_2\rangle\)が成り立つ。また、
\(x_1a_1+x_2a_2=\mathbf{0}\)
とおくと、\(x_1=x_2=0\)のみを解にもつので、\(a_1,a_2\)は一次独立である。
よって、\(\dim\mathrm{Im}T_A=2\)で基底は \(\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix},\mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}\)
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