【線形代数】6-5-1 表現行列の定義｜問題集
1.次の表現行列を求めなさい。
(1)線形変換\(F:P_2(\mathbb{R})\longrightarrow P_2(\mathbb{R})\)を\(\displaystyle F(f(x))=15\int_{-1}^1(x-t)^2f(t)dt\)で定める。このとき、\(P_2(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2]\)に関する\(F\)の表現行列
与えられた基底を\(F\)で写すと
\(\displaystyle F(1)=15\int_{-1}^1(x-t)^2dt=30x^2+10\)
\(\displaystyle F(x)=15\int_{-1}^1(x-t)^2tdt=-20x\)
\(\displaystyle F(x^2)=15\int_{-1}^1(x-t)^2t^2dt=10x^2+6\)
すなわち、
\([F(1),F(x),F(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}10 & 0 & 6 \\ 0 & -20 & 0 \\ 30 & 0 & 10\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}10 & 0 & 6 \\ 0 & -20 & 0 \\ 30 & 0 & 10\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle F(1)=15\int_{-1}^1(x-t)^2dt=30x^2+10\)
\(\displaystyle F(x)=15\int_{-1}^1(x-t)^2tdt=-20x\)
\(\displaystyle F(x^2)=15\int_{-1}^1(x-t)^2t^2dt=10x^2+6\)
すなわち、
\([F(1),F(x),F(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}10 & 0 & 6 \\ 0 & -20 & 0 \\ 30 & 0 & 10\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}10 & 0 & 6 \\ 0 & -20 & 0 \\ 30 & 0 & 10\end{pmatrix}\)
(2)線形変換\(D:P_2(\mathbb{R})\longrightarrow P_3(\mathbb{R})\)を\(\displaystyle D(f(x))=x^2\frac{d^2f(x)}{dx^2}-x\frac{df(x)}{dx}+f(0)x^3\)で定める。このとき、\(P_2(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2]\)と\(P_3(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2,x^3]\)に関する\(D\)の表現行列
与えられた基底を\(D\)で写すと
\(\displaystyle D(1)=0-0+x^3=x^3\)
\(\displaystyle D(x)=0-x\cdot1+0=-x\)
\(\displaystyle D(x^2)=x^2\cdot2-x\cdot2x+0=0\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2,x^3]\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle D(1)=0-0+x^3=x^3\)
\(\displaystyle D(x)=0-x\cdot1+0=-x\)
\(\displaystyle D(x^2)=x^2\cdot2-x\cdot2x+0=0\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2,x^3]\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
2.\(A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\)に対して、次の\(\mathbb{R}^4\)の基底\([v_1,v_2,v_3,v_4]\)と\(\mathbb{R}^3\)の基底\([w_1,w_2,w_3]\)に関する線形写像\(T_A:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^3\)の表現行列\(B\)を求めなさい。
\(v_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\)\(v_2=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\)\(v_3=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\)\(v_4=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\)\(w_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},\)\(w_2=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\)\(w_3=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(P=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \end{pmatrix},Q=\begin{pmatrix}w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}\)とおく。
\([T_A(v_1),T_A(v_2),T_A(v_3),T_A(v_4)]\)
\(=[w_1,w_2,w_3]B=QB\)
\([T_A(v_1),T_A(v_2),T_A(v_3),T_A(v_4)]\)
\(=[Av_1,Av_2,Av_3,Av_4]\)
\(=A[v_1,v_2,v_3,v_4]=AP\)
つまり、\(QB=AP\)
ここで、
\(AP=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 3\end{pmatrix}\)
すなわち、
\((Q|AP)=\left(\begin{array}{ccc|cccc}1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|cccc}1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|cccc}1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -6 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 3\end{array}\right)\)
よって、
\(B=Q^{-1}AP\)
\(=\begin{pmatrix}4 & 0 & 1 & -3 \\ -6 & -2 & -2 & 0 \\ 5 & 3 & 2 & 3\end{pmatrix}\)
\([T_A(v_1),T_A(v_2),T_A(v_3),T_A(v_4)]\)
\(=[w_1,w_2,w_3]B=QB\)
\([T_A(v_1),T_A(v_2),T_A(v_3),T_A(v_4)]\)
\(=[Av_1,Av_2,Av_3,Av_4]\)
\(=A[v_1,v_2,v_3,v_4]=AP\)
つまり、\(QB=AP\)
ここで、
\(AP=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 3 \\ 2 & 1 & -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 2 & 3\end{pmatrix}\)
すなわち、
\((Q|AP)=\left(\begin{array}{ccc|cccc}1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|cccc}1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 3\end{array}\right)\)
\(\mapsto\left(\begin{array}{ccc|cccc}1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -6 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 2 & 3\end{array}\right)\)
よって、
\(B=Q^{-1}AP\)
\(=\begin{pmatrix}4 & 0 & 1 & -3 \\ -6 & -2 & -2 & 0 \\ 5 & 3 & 2 & 3\end{pmatrix}\)
3.\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\)として、写像\(F:M_2(\mathbb{R})\longrightarrow M_2(\mathbb{R})\)を\(F(X)=AX-XA\ \ (X\in M_2(\mathbb{R}))\)で定める。
(1)\(F\)は\(M_2(\mathbb{R})\)上の線形変換であることを証明しなさい。
任意の\(X,Y\in M_2(\mathbb{R})\)と\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)に対して
\(F(\alpha X+\beta Y)\)
\(=A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A\)
\(=\alpha(AX-XA)+\beta(AY-YA)\)
\(=\alpha F(X)+\beta F(Y)\)
よって、\(F\)は\(M_2(\mathbb{R})\)上の線形変換である。
\(F(\alpha X+\beta Y)\)
\(=A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A\)
\(=\alpha(AX-XA)+\beta(AY-YA)\)
\(=\alpha F(X)+\beta F(Y)\)
よって、\(F\)は\(M_2(\mathbb{R})\)上の線形変換である。
(2)\(M_2(\mathbb{R})\)の基底\([E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}]\)に関する\(F\)の表現行列を求めなさい。ただし、\(E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\)\(E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix},\)\(E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\)\(E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\)である。
与えられた基底を\(F\)で写すと
\(F(E_{11})=AE_{11}-E_{11}A\)
\(=\begin{pmatrix}0 & -2 \\ 3 & 0\end{pmatrix}\)
\(=-2E_{12}+3E_{21}\)
\(F(E_{12})=AE_{12}-E_{12}A\)
\(=\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)
\(=-3E_{11}-3E_{12}+3E_{22}\)
\(F(E_{21})=AE_{21}-E_{21}A\)
\(=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 3 & -2\end{pmatrix}\)
\(=2E_{11}+3E_{21}-2E_{22}\)
\(F(E_{22})=AE_{22}-E_{22}A\)
\(=\begin{pmatrix}0 & 2 \\ -3 & 0\end{pmatrix}\)
\(=2E_{12}-3E_{21}\)
すなわち、
\([F(E_{11}),F(E_{12}),F(E_{21}),F(E_{22})]\)
\(=[E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}]\begin{pmatrix}0 & -3 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -2 & 0\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}0 & -3 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -2 & 0\end{pmatrix}\)
\(F(E_{11})=AE_{11}-E_{11}A\)
\(=\begin{pmatrix}0 & -2 \\ 3 & 0\end{pmatrix}\)
\(=-2E_{12}+3E_{21}\)
\(F(E_{12})=AE_{12}-E_{12}A\)
\(=\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\)
\(=-3E_{11}-3E_{12}+3E_{22}\)
\(F(E_{21})=AE_{21}-E_{21}A\)
\(=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 3 & -2\end{pmatrix}\)
\(=2E_{11}+3E_{21}-2E_{22}\)
\(F(E_{22})=AE_{22}-E_{22}A\)
\(=\begin{pmatrix}0 & 2 \\ -3 & 0\end{pmatrix}\)
\(=2E_{12}-3E_{21}\)
すなわち、
\([F(E_{11}),F(E_{12}),F(E_{21}),F(E_{22})]\)
\(=[E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}]\begin{pmatrix}0 & -3 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -2 & 0\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}0 & -3 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 3 & -2 & 0\end{pmatrix}\)
次の学習に進もう！