【線形代数】8-1-1 実ベクトル空間の内積｜問題集

\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x+1)x^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x^3+x^2)dx\)
\(\displaystyle =2\int_0^1x^2dx\)
\(\displaystyle =2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle =\int_{-1}^1xdx\)
\(=0\)

\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x^2+x)(2x+3)dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(2x^3+5x^2+3x)dx\)
\(\displaystyle =10\int_0^1x^2dx\)
\(\displaystyle =10\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{10}{3}\)

\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x^2+x+1)^2dx\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1(x^4+2x^3+3x^2+2x+1)dx\)
\(\displaystyle =2\int_0^1(x^4+3x^2+1)dx\)
\(\displaystyle =2\left[\frac{x^5}{5}+x^3+x\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\frac{22}{5}\)

ベクトルを\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\)とおくと、
\((2\boldsymbol{a},\boldsymbol{0})=\left(\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\right)=2^2+0+0=4\)
\(2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{0})=2\left(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\right)=2(1^2+0+0)=2\)
よって、内積ではない。

任意のベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\in\mathbb{R}^2\)とスカラー\(\alpha\in\mathbb{R}\)に対して
(1)\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\)
\(=2(a_1+b_1)c_1+3(a_2+b_2)c_2\)
\(=(2a_1c_1+3a_2c_2)+(2b_1c_1+3b_2c_2)\)
\(=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\)
(2)\((\alpha\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
\(=2(\alpha a_1)b_1+3(\alpha a_2)b_2\)
\(=\alpha(2a_1b_1+3a_2b_2)\)
\(=\alpha(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
(3)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
\(=2a_1b_1+3a_2b_2\)
\(=2b_1a_1+3b_2a_2\)
\(=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})\)
(4)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})=2a_1^2+3a_2^2\geqq0\)なので、\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})=0\)となるのは
\(2a_1^2+3a_2^2=0\)
\(a_1=a_2=0\)のとき、\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)のときに限る。
よって、\(\mathbb{R}^2\)の内積である。

ベクトルを\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\)とおくと、
\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})=\left(\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\right)=0^2=0\)
よって、内積ではない。

任意のベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\in\mathbb{R}^2\)とスカラー\(\alpha\in\mathbb{R}\)に対して
(1)\((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\)
\(=(a_1+b_1)c_1+2(a_1+b_1)c_2+2(a_2+b_2)c_1+5(a_2+b_2)c_2\)
\(=(a_1c_1+2a_1c_2+2a_2c_1+5a_2c_2)+(b_1c_1+2b_1c_2+2b_2c_1+5b_2c_2)\)
\(=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c})+(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\)
(2)\((\alpha\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
\(=(\alpha a_1)b_1+2(\alpha a_1)b_2+2(\alpha a_2)b_1+5(\alpha a_2)b_2\)
\(=\alpha(a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+5a_2b_2)\)
\(=\alpha(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
(3)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
\(=a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+5a_2b_2\)
\(=b_1a_1+2b_1a_2+2b_2a_1+5b_2a_2\)
\(=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a})\)
(4)\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})=a_1^2+2a_1a_2+2a_2a_1+5a_2^2=(a_1+2a_2)^2+a_2^2\geqq0\)なので、
\((\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})=0\)となるのは\(a_1+2a_2=0\)かつ\(a_2=0\)、
すなわち\(a_1=a_2=0\)、つまり\(\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}\)のときに限る。
よって、\(\mathbb{R}^2\)の内積である。