【線形代数】6-5-1 表現行列の定義｜要点まとめ
大学数学の線形代数における「表現行列」の定義と求め方をわかりやすく解説します。多項式空間の基底に関する具体的な例題（微分や平行移動を用いた線形変換）とともに、表現行列の作り方をコンパクトにまとめています。
表現行列の定義
【線形写像の表現行列】
\(f:V\longrightarrow W\)を線形写像とし、\([v_1,v_2,\cdots,v_n]\)を\(V\)の基底、\([w_1,w_2,\cdots,w_m]\)を\(W\)の基底とする。このとき、\(j=1,2,\cdots,n\)に対して
\(\displaystyle f(v_j)=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i\ \ (a_{ij}\in\mathbb{K})\)
により定まる\(m\times n\)行列\((a_ij)_ij\)を\(V\)の基底\([v_1,v_2,\cdots,v_n]\)と\(W\)の基底\([w_1,w_2,\cdots,w_m]\)に関する\(f\)の表現行列という。
特に、\(V=W\)で\([v_1,v_2,\cdots,v_n]=[w_1,w_2,\cdots,w_n]\)の場合、\(n\)次正方行列\((a_ij)_ij\)を\(V\)の基底\([v_1,v_2,\cdots,v_n]\)に関する線形変換\(f:V\longrightarrow V\)の表現行列という。
【例題】次の表現行列を求めなさい。
(1)線形変換\(D:P_2(\mathbb{R})\longrightarrow P_2(\mathbb{R})\)を\(\displaystyle D(f(x))=(x-1)\frac{df(x)}{dx}-2f(x)\)で定める。このとき、\(P_2(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2]\)に関する\(D\)の表現行列
与えられた基底を\(D\)で写すと
\(D(1)=(x-1)\cdot0-2\cdot1=-2\)
\(D(x)=(x-1)\cdot1-2x=-1-x\)
\(D(x^2)=(x-1)\cdot2x-2x^2=-2x\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(D(1)=(x-1)\cdot0-2\cdot1=-2\)
\(D(x)=(x-1)\cdot1-2x=-1-x\)
\(D(x^2)=(x-1)\cdot2x-2x^2=-2x\)
すなわち、
\([D(1),D(x),D(x^2)]=[1,x,x^2]\begin{pmatrix}-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}-2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)
(2)\(a\)を実数とし、線形変換\(F:P_3(\mathbb{R})\longrightarrow P_2(\mathbb{R})\)を\(F(f(x))=f(x-a)\)で定める。このとき、\(P_3(\mathbb{R})\)の基底\([1,x,x^2,x^3]\)に関する\(F\)の表現行列
与えられた基底を\(F\)で写すと
\(F(1)=1\)
\(F(x)=x-a=-a+x\)
\(F(x^2)=(x-a)^2=a^2-2ax+x^2\)
\(F(x^3)=(x-a)^3=-a^3+3a^2x-3ax^2+x^3\)
すなわち、
\([F(1),F(x),F(x^2),F(x^3)]\)
\(=[1,x,x^2,x^3]\begin{pmatrix}1 & -a & a^2 & -a^3 \\ 0 & 1 & -2a & 3a^2 \\ 0 & 0 & 1 & -3a \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}1 & -a & a^2 & -a^3 \\ 0 & 1 & -2a & 3a^2 \\ 0 & 0 & 1 & -3a \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
\(F(1)=1\)
\(F(x)=x-a=-a+x\)
\(F(x^2)=(x-a)^2=a^2-2ax+x^2\)
\(F(x^3)=(x-a)^3=-a^3+3a^2x-3ax^2+x^3\)
すなわち、
\([F(1),F(x),F(x^2),F(x^3)]\)
\(=[1,x,x^2,x^3]\begin{pmatrix}1 & -a & a^2 & -a^3 \\ 0 & 1 & -2a & 3a^2 \\ 0 & 0 & 1 & -3a \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
よって、表現行列は
\(\begin{pmatrix}1 & -a & a^2 & -a^3 \\ 0 & 1 & -2a & 3a^2 \\ 0 & 0 & 1 & -3a \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)
次の学習に進もう！