【線形代数】8-4-1 グラム・シュミットの直交化法｜問題集

Q: 直交補空間とは何ですか？どのような意味を持つ空間ですか？

ベクトル空間 \(V\) の部分空間 \(W\) に対し、\(W\) のすべてのベクトルと直交するベクトル全体が集まった集合のことを \(W\) の直交補空間（ \(W^\perp\) ）と呼びます。直交補空間もまた \(V\) の部分空間となります。

Q: 部分空間の次元とその直交補空間の次元の間にはどのような関係がありますか？

有限次元のベクトル空間 \(V\) とその部分空間 \(W\) について、次元の和は全体空間の次元に等しくなります。すなわち、\(\dim W + \dim W^\perp = \dim V\) が成り立ちます。例えば \(\mathbb{R}^4\) において \(\dim W = 2\) であれば、直交補空間の次元は \(\dim W^\perp = 4 - 2 = 2\) となります。

Q: 直交補空間の基底を求めるには、具体的にどのような手順で計算すればよいですか？

まず、部分空間 \(W\) を生成するベクトル \(\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \dots\) を並べた行列を作り、未知のベクトル \(\boldsymbol{x}\) との内積がすべて \(0\) になるという連立一次方程式（\((\boldsymbol{v}_i, \boldsymbol{x}) = 0\)）を立てます。次に、その係数行列を行基本変形（簡約化）して解き、パラメータ表示の形から基底を抽出します。

Question 1

(1)\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)

Answer

グラム・シュミットの直交化法より、
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{3}{6}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{v}_3-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_2)}{(\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_2)}\boldsymbol{w}_2\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{5}{6}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
また、\(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3\)は\(\mathbb{R}^3\)の直交系なので、
\(\|\boldsymbol{w}_1\|=\sqrt{6}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_2\|=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_3\|=\frac{2}{3}\sqrt{3}\)
よって、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_3=\frac{\boldsymbol{w}_3}{\|\boldsymbol{w}_3\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\mathbb{R}^3\)の正規直交基底は\(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\)となる。

Question 2

(2)\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\)

Answer

グラム・シュミットの直交化法より、
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{v}_3-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_2)}{(\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_2)}\boldsymbol{w}_2\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}-\frac{2}{2}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}-\frac{-2}{\frac{9}{2}}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{9}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\)
また、\(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3\)は\(\mathbb{R}^3\)の直交系なので、
\(\|\boldsymbol{w}_1\|=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_2\|=\frac{1}{2}\cdot3\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_3\|=\frac{1}{3}\)
よって、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{3\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_3=\frac{\boldsymbol{w}_3}{\|\boldsymbol{w}_3\|}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\mathbb{R}^3\)の正規直交基底は\(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\)となる。

Question 3

(1)\(\displaystyle (f(x),g(x))=\int_{-1}^1f(x)g(x)dx\)

Answer

グラム・シュミットの直交化法より、
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{3}{6}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{v}_3-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_2)}{(\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_2)}\boldsymbol{w}_2\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{5}{6}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
また、\(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3\)は\(\mathbb{R}^3\)の直交系なので、
\(\|\boldsymbol{w}_1\|=\sqrt{6}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_2\|=\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_3\|=\frac{2}{3}\sqrt{3}\)
よって、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_3=\frac{\boldsymbol{w}_3}{\|\boldsymbol{w}_3\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\mathbb{R}^3\)の正規直交基底は\(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\)となる。