グラム・シュミットの直交化法とは何ですか？

計量ベクトル空間において、一次独立なベクトルの組から、互いに直交し（内積が0）、かつ大きさが1であるような「正規直交系（または正規直交基底）」を作り出す手法のことです。

グラム・シュミットの直交化法の具体的な計算手順は？

最初のベクトルをそのまま最初の直交ベクトル w₁ とします（w₁ = v₁）。2番目以降のベクトル w_k は、v_k から「既に求められた直交ベクトル w_1, ..., w_{k-1} 方向への正射影成分」を順次引き去ることで求めます。最後に、得られた直交ベクトルをそれぞれのノルム（長さ）で割ることで正規化し、正規直交基底を得ます。

有限次元計量ベクトル空間には必ず正規直交基底が存在しますか？

はい、存在します。「正規直交基底の定理」により、V が有限次元計量ベクトル空間であれば、グラム・シュミットの直交化法を適用することで必ず正規直交基底が存在することが保証されます。

【線形代数】8-4-1 グラム・シュミットの直交化法｜要点まとめ

大学数学の線形代数で学ぶ「グラム・シュミットの直交化法」について要点をまとめました。一次独立なベクトルの組から正規直交基底を作り出す手順や、具体的な計算例まで分かりやすく解説します。

正規直交基底

【正規直交系】
\(V\)を\(\mathbb{K}\)上の計量ベクトル空間とする。\(V\)の零ベクトルでないベクトルの組\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\)が
\((\boldsymbol{v}_i,\boldsymbol{v}_j)=0\ \ (i,j=1,2,\cdots,k,i\neq j)\)
を満たすとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\)は\(V\)の直交系であるという。
直交系がさらに次の条件
\(\|\boldsymbol{v}_i\|=1\ \ (i=1,2,\cdots,k)\)
を満たすとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\)は\(V\)の正規直交系であるという。

【直交系の一次独立性】
\(\mathbb{K}\)上の計量ベクトル空間\(V\)において、直交系は一次独立である。

【正規直交基底】
\(V\)を\(\mathbb{K}\)上の計量ベクトル空間とする。\(V\)のベクトル\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\)が正規直交系かつ\(V\)の基底となっているとき、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\)は正規直交基底であるという。

グラム・シュミットの直交化法

【グラム・シュミットの直交化法】
\(V\)を\(\mathbb{K}\)上の計量ベクトル空間とし、\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n\)を\(V\)の一次独立なベクトルの組とする。このとき、\(V\)の正規直交系\(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots,\boldsymbol{u}_n\)で
\(\langle\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_k\rangle=\langle\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\cdots,\boldsymbol{u}_k\rangle\)\(\ \ (k=1,2,\cdots,n)\)
となるものが存在する。具体的には
\(\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1 \\ \displaystyle \boldsymbol{w}_k=\boldsymbol{v}_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\boldsymbol{v}_k,\boldsymbol{w}_i)}{(\boldsymbol{w}_i,\boldsymbol{w}_i)}\boldsymbol{w}_i\ \ (k=2,3,\cdots,n)\end{array}\right.\)
として
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_k=\frac{\boldsymbol{w}_k}{\|\boldsymbol{w}_k\|}\)
とおく。

【正規直交基底の定理】
\(V\)が有限次元計量ベクトル空間ならば、正規直交基底が存在する。

【例題】標準内積を与えた\(\mathbb{R}^3\)の基底にグラム・シュミットの直交化法を適用して\(\mathbb{R}^3\)の正規直交基底を求めなさい。

(1)\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)

グラム・シュミットの直交化法より、
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}-\frac{2}{2}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{v}_3-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_2)}{(\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_2)}\boldsymbol{w}_2\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}-\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}-\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{6}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)
また、\(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3\)は\(\mathbb{R}^3\)の直交系なので、
\(\|\boldsymbol{w}_1\|=\sqrt{2}\)
\(\|\boldsymbol{w}_2\|=\sqrt{3}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_3\|=\frac{5}{6}\sqrt{6}\)
よって、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_3=\frac{\boldsymbol{w}_3}{\|\boldsymbol{w}_3\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\mathbb{R}^3\)の正規直交基底は\(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\)となる。

(2)\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)

(3)\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}\)

グラム・シュミットの直交化法より、
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}-\frac{6}{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_3=\boldsymbol{v}_3-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1-\frac{(\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{w}_2)}{(\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_2)}\boldsymbol{w}_2\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}-\frac{-1}{3}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{4}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\)
また、\(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2,\boldsymbol{w}_3\)は\(\mathbb{R}^3\)の直交系なので、
\(\|\boldsymbol{w}_1\|=\sqrt{3}\)
\(\|\boldsymbol{w}_2\|=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \|\boldsymbol{w}_3\|=\frac{1}{3}\sqrt{6}\)
よって、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_3=\frac{\boldsymbol{w}_3}{\|\boldsymbol{w}_3\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\mathbb{R}^3\)の正規直交基底は\(\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3\)となる。

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