【線形代数】8-4-2 正射影｜問題集
1.次の問いに答えなさい。
(1)\(W\)を\(\boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)が生成する\(\mathbb{R}^3\)の部分空間とする。このとき、点\(A(1,-2,3)\)と\(W\)との距離を求めなさい。ただし、\(\mathbb{R}^3\)には標準内積を考えるものとする。
\(W\)の正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{u}=\frac{\boldsymbol{v}}{\|\boldsymbol{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\)とおくと、正射影ベクトルは
\(P_W(\boldsymbol{a})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}\)
\(\displaystyle =\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
よって、
\(d(\boldsymbol{a},W)=\|\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})\|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}=\frac{\boldsymbol{v}}{\|\boldsymbol{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\boldsymbol{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\)とおくと、正射影ベクトルは
\(P_W(\boldsymbol{a})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}\)
\(\displaystyle =\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\)
よって、
\(d(\boldsymbol{a},W)=\|\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})\|\)
\(=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}\)
\(=\sqrt{2}\)
(2)\(W\)を\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix},\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}\)が生成する\(\mathbb{R}^3\)の部分空間とする。このとき、点\(A(3,8,2)\)と\(W\)との距離を求めなさい。ただし、\(\mathbb{R}^3\)には標準内積を考えるものとする。
グラム・シュミットの直交化法より、
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{4}{5}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}6 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{70}}\begin{pmatrix}6 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}\)
が\(W\)の正規直交基底である。求める正射影ベクトルは
\(P_W(\boldsymbol{a})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{u}_1)\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{u}_2)\boldsymbol{u}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}+\frac{-28}{\sqrt{70}}\cdot\frac{1}{\sqrt{70}}\begin{pmatrix}6 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}\)
\(\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})=\begin{pmatrix}3 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}\)
よって、
\(d(\boldsymbol{a},W)=\|\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})\|\)
\(=\sqrt{4^2+6^2+(-2)^2}\)
\(=2\sqrt{14}\)
\(\boldsymbol{w}_1=\boldsymbol{v}_1\)
\(=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{w}_2=\boldsymbol{v}_2-\frac{(\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{w}_1)}{(\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_1)}\boldsymbol{w}_1\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}-\frac{4}{5}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}6 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}\)
すなわち、
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{w}_1}{\|\boldsymbol{w}_1\|}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{w}_2}{\|\boldsymbol{w}_2\|}=\frac{1}{\sqrt{70}}\begin{pmatrix}6 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}\)
が\(W\)の正規直交基底である。求める正射影ベクトルは
\(P_W(\boldsymbol{a})=(\boldsymbol{a},\boldsymbol{u}_1)\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{a},\boldsymbol{u}_2)\boldsymbol{u}_2\)
\(\displaystyle =\frac{7}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}+\frac{-28}{\sqrt{70}}\cdot\frac{1}{\sqrt{70}}\begin{pmatrix}6 \\ -5 \\ -3\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle =\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}\)
\(\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})=\begin{pmatrix}3 \\ 8 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ -2\end{pmatrix}\)
よって、
\(d(\boldsymbol{a},W)=\|\boldsymbol{a}-P_W(\boldsymbol{a})\|\)
\(=\sqrt{4^2+6^2+(-2)^2}\)
\(=2\sqrt{14}\)
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