【線形代数】9-2-1 二次曲線の標準形｜要点まとめ
大学数学の線形代数で学ぶ「二次曲線の標準形」の求め方を解説した要点まとめページです。実対称行列の直交対角化を利用して、2次式を標準形（楕円・双曲線・放物線）へ変形する手順を、分かりやすい例題付きで詳しく解説しています。
二次曲線の標準形
【例題】次の二次曲線の標準形を求めなさい。
(1)\(C:13x^2+6\sqrt{3}xy+7y^2=16\)
実対称行列\(A=\begin{pmatrix}13 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & 7\end{pmatrix}\)とベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)を用いると
\(13x^2+6\sqrt{3}xy+7y^2\)
\(=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}=16\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-13 & -3\sqrt{3} \\ -3\sqrt{3} & t-7\end{vmatrix}\)
\(=t^2-20t+64\)
\(=(t-4)(t-16)=0\)
\(t=4,16\)
・固有空間\(V(4)\)のとき、
\((A-4E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-4E=\begin{pmatrix}9 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}\sqrt{3} & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(4)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(16)\)のとき、
\((A-16E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-16E=\begin{pmatrix}-3 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & -9\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(16)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 16\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}\)
\(=\begin{pmatrix}X & Y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\)
\(=4X^2+16Y^2=16\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(\displaystyle \frac{X^2}{4}+Y^2=1\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の楕円\(\displaystyle \frac{X^2}{4}+Y^2=1\)を原点中心に\(\displaystyle -\frac{\pi}{3}\)回転した曲線である。
\(13x^2+6\sqrt{3}xy+7y^2\)
\(=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}13 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}=16\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-13 & -3\sqrt{3} \\ -3\sqrt{3} & t-7\end{vmatrix}\)
\(=t^2-20t+64\)
\(=(t-4)(t-16)=0\)
\(t=4,16\)
・固有空間\(V(4)\)のとき、
\((A-4E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-4E=\begin{pmatrix}9 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}\sqrt{3} & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(4)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 \\ -\sqrt{3}\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(16)\)のとき、
\((A-16E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-16E=\begin{pmatrix}-3 & 3\sqrt{3} \\ 3\sqrt{3} & -9\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(16)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 16\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}\)
\(=\begin{pmatrix}X & Y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 16\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\)
\(=4X^2+16Y^2=16\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(\displaystyle \frac{X^2}{4}+Y^2=1\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の楕円\(\displaystyle \frac{X^2}{4}+Y^2=1\)を原点中心に\(\displaystyle -\frac{\pi}{3}\)回転した曲線である。
(2)\(C:x^2+2\sqrt{3}xy-y^2=2\)
実対称行列\(A=\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\)とベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)を用いると
\(x^2+2\sqrt{3}xy-y^2\)
\(=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}=2\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & t+1\end{vmatrix}\)
\(=t^2-4\)
\(=(t-2)(t+2)=0\)
\(t=2,-2\)
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(2)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(-2)\)のとき、
\((A+2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}\sqrt{3} & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(-2)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}\)
\(=\begin{pmatrix}X & Y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\)
\(=2X^2-2Y^2=2\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(X^2-Y^2=1\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の双曲線\(X^2-Y^2=1\)を原点中心に\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)回転した曲線である。
\(x^2+2\sqrt{3}xy-y^2\)
\(=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}=2\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & t+1\end{vmatrix}\)
\(=t^2-4\)
\(=(t-2)(t+2)=0\)
\(t=2,-2\)
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}-1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -\sqrt{3} \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(2)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} \\ 1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(-2)\)のとき、
\((A+2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A+2E=\begin{pmatrix}3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}\sqrt{3} & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(-2)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ \sqrt{3}\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}\)
\(=\begin{pmatrix}X & Y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\)
\(=2X^2-2Y^2=2\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(X^2-Y^2=1\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の双曲線\(X^2-Y^2=1\)を原点中心に\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)回転した曲線である。
(3)\(C:5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8=0\)
実対称行列\(A=\begin{pmatrix}5 & -3 \\ -3 & 5\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-8 & -8\end{pmatrix}\)とベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)を用いると
\(5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{x}+8=0\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-5 & 3 \\ 3 & t-5\end{vmatrix}\)
\(=t^2-10t+16\)
\(=(t-2)(t-8)=0\)
\(t=2,8\)
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}3 & -3 \\ -3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(2)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(8)\)のとき、
\((A-8E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-8E=\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ -3 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(8)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 8\end{pmatrix}\)
\(BP=\begin{pmatrix}-8 & -8\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\sqrt{2} & 0\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}^T(P^TAP)\boldsymbol{X}=2X^2+8Y^2\)
\(B\boldsymbol{x}=BP\boldsymbol{X}=-8\sqrt{2}X\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(2X^2+8Y^2-8\sqrt{2}X+8=0\)
\(\displaystyle \frac{(X-2\sqrt{2})^2}{4}+Y^2=1\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の楕円\(\displaystyle \frac{(X-2\sqrt{2})^2}{4}+Y^2=1\)を原点中心に\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)回転した曲線である。
\(5x^2-6xy+5y^2-8x-8y+8\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{x}+8=0\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-5 & 3 \\ 3 & t-5\end{vmatrix}\)
\(=t^2-10t+16\)
\(=(t-2)(t-8)=0\)
\(t=2,8\)
・固有空間\(V(2)\)のとき、
\((A-2E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-2E=\begin{pmatrix}3 & -3 \\ -3 & 3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(2)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(8)\)のとき、
\((A-8E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-8E=\begin{pmatrix}-3 & -3 \\ -3 & -3\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(8)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 8\end{pmatrix}\)
\(BP=\begin{pmatrix}-8 & -8\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\sqrt{2} & 0\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}^T(P^TAP)\boldsymbol{X}=2X^2+8Y^2\)
\(B\boldsymbol{x}=BP\boldsymbol{X}=-8\sqrt{2}X\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(2X^2+8Y^2-8\sqrt{2}X+8=0\)
\(\displaystyle \frac{(X-2\sqrt{2})^2}{4}+Y^2=1\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の楕円\(\displaystyle \frac{(X-2\sqrt{2})^2}{4}+Y^2=1\)を原点中心に\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)回転した曲線である。
(4)\(C:x^2+4xy+4y^2-2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y=0\)
実対称行列\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-2\sqrt{5} & \sqrt{5}\end{pmatrix}\)とベクトル\(\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)を用いると
\(x^2+4xy+4y^2-2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{x}=0\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-1 & -2 \\ -2 & t-4\end{vmatrix}\)
\(=t^2-5t\)
\(=t(t-5)=0\)
\(t=0,5\)
・固有空間\(V(0)\)のとき、
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(0)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(5)\)のとき、
\((A-5E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-5E=\begin{pmatrix}-4 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(5)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)
\(BP=\begin{pmatrix}-2\sqrt{5} & -5\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & -5\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}^T(P^TAP)\boldsymbol{X}=5Y^2\)
\(B\boldsymbol{x}=BP\boldsymbol{X}=-5X\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(5Y^2-5X=0\)
\(X=Y^2\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の放物線\(X=Y^2\)を原点中心に\(\alpha\)回転した曲線である。
\(\displaystyle (\cos\alpha,\sin\alpha)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)
\(x^2+4xy+4y^2-2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y\)
\(=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}+B\boldsymbol{x}=0\)
\(A\)の固有方程式は
\(F_A(t)=\begin{vmatrix}t-1 & -2 \\ -2 & t-4\end{vmatrix}\)
\(=t^2-5t\)
\(=t(t-5)=0\)
\(t=0,5\)
・固有空間\(V(0)\)のとき、
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(0)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_1=\frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\)
・固有空間\(V(5)\)のとき、
\((A-5E)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)の解空間であるから
\(A-5E=\begin{pmatrix}-4 & 2 \\ 2 & -1\end{pmatrix}\)
\(\mapsto\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\)
\(V(5)\)の基底として\(\boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)がとれる。
すなわち、正規直交基底は
\(\displaystyle \boldsymbol{p}_2=\frac{\boldsymbol{v}_2}{\|\boldsymbol{v}_2\|}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)
ゆえに、
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}\boldsymbol{p}_1 & \boldsymbol{p}_2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
\(P^{-1}AP=P^TAP=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix}\)
\(BP=\begin{pmatrix}-2\sqrt{5} & -5\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 & -5\end{pmatrix}\)
と対角化できる。ここで\(\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=P^{-1}\boldsymbol{x}\)とおくと
\(x^TA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{X}^T(P^TAP)\boldsymbol{X}=5Y^2\)
\(B\boldsymbol{x}=BP\boldsymbol{X}=-5X\)
よって、二次曲線\(C\)の標準形は
\(5Y^2-5X=0\)
\(X=Y^2\)
二次曲線\(C\)は\(XY\)平面上の放物線\(X=Y^2\)を原点中心に\(\alpha\)回転した曲線である。
\(\displaystyle (\cos\alpha,\sin\alpha)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\)
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