【線形代数】9-3-1 多変数関数の極値問題｜問題集

停留点を求める。
\(f_x(x,y,z)=\{2ax-2x(ax^2+by^2+cz^2)\}e^{-x^2-y^2-z^2}\)
\(f_y(x,y,z)=\{2by-2y(ax^2+by^2+cz^2)\}e^{-x^2-y^2-z^2}\)
\(f_z(x,y,z)=\{2cz-2z(ax^2+by^2+cz^2)\}e^{-x^2-y^2-z^2}\)
\(f_x=f_y=f_z=0\)を解くと、
\((x,y,z)=(0,0,0),(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)\)

二次偏導関数を求める。
\(f_xx(x,y,z)=(2a-6ax^2-2by^2-2cz^2)e^{-x^2-y^2-z^2}-2xf_x(x,y,z)\)
\(f_yy(x,y,z)=(2b-2ax^2-6by^2-2cz^2)e^{-x^2-y^2-z^2}-2yf_y(x,y,z)\)
\(f_zz(x,y,z)=(2c-2ax^2-2by^2-6cz^2)e^{-x^2-y^2-z^2}-2zf_z(x,y,z)\)
\(f_xy(x,y,z)=-4bxye^{-x^2-y^2-z^2}-2yf_x(x,y,z)\)
\(f_yz(x,y,z)=-4cyze^{-x^2-y^2-z^2}-2zf_y(x,y,z)\)
\(f_zx(x,y,z)=-4axze^{-x^2-y^2-z^2}-2xf_z(x,y,z)\)
となり、ヘッセ行列\(M\)は停留点で対角行列となる。

・点\((0,0,0)\)のとき、
\(M=\begin{pmatrix}2a & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2c\end{pmatrix}\)
固有値が全て正なので、ヘッセ行列は正定値である。よって、
\(f\)は\((0,0,0)\)で極小となり、極小値は\(f(0,0,0)=0\)となる。

・点\((\pm1,0,0)\)のとき、
\(M=\begin{pmatrix}-4ae^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 2(b-a)e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 2(c-a)e^{-1}\end{pmatrix}\)
固有値が正と負の両方ある。よって、
\(f\)は\((\pm1,0,0)\)で鞍点となり、極値はとらない。

・点\((0,\pm1,0)\)のとき、
\(M=\begin{pmatrix}2(a-b)e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & -4be^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 2(c-a)e^{-1}\end{pmatrix}\)
固有値が正と負の両方ある。よって、
\(f\)は\((0,\pm1,0)\)で鞍点となり、極値はとらない。

・点\((0,0,\pm1)\)のとき、
\(M=\begin{pmatrix}2(a-c)e^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 2(b-c)e^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & -4ce^{-1}\end{pmatrix}\)
固有値が全て負なので、ヘッセ行列は負定値である。よって、
\(f\)は\((0,0,\pm1)\)で極大となり、極大値は\(\displaystyle f(0,0,\pm1)=\frac{c}{e}\)となる。