【微分積分】3-5-2 関数の増減｜問題集
1.次の等式、不等式を証明しなさい。
(1)\(\displaystyle \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\tan^{-1}x=0\)
\(\displaystyle f(x)=\sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\tan^{-1}x\)とおくと、
\(f'(x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2}}・\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}}・\frac{\sqrt{1+x^2}-x・\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{1+x^2}・\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{1+x^2}\)
\(=0\)
\(f'(x)=0\)より定数関数であり、
\(x=0\)で\(f(0)=0\)より恒等的に\(0\)
よって、
\(\displaystyle \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\tan^{-1}x=0\)
\(f'(x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2}}・\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)'-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}}・\frac{\sqrt{1+x^2}-x・\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{1+x^2}・\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{1+x^2}\)
\(=0\)
\(f'(x)=0\)より定数関数であり、
\(x=0\)で\(f(0)=0\)より恒等的に\(0\)
よって、
\(\displaystyle \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\tan^{-1}x=0\)
(2)\(x>0\)のとき、\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x< x\)
\(\displaystyle f(x)=x-\tan^{-1}x\)とおくと、
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}>0\)
\(\displaystyle g(x)=\tan^{-1}x-\frac{x}{1+x^2}\)とおくと、
\(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}>0\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x< x\)
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}>0\)
\(\displaystyle g(x)=\tan^{-1}x-\frac{x}{1+x^2}\)とおくと、
\(\displaystyle g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}>0\)
よって、
\(\displaystyle \frac{x}{1+x^2}< \tan^{-1}x< x\)
(3)\(e^\pi>\pi^e\)
両辺に対数をとると、
\(\pi>e\log\pi\)
\(\displaystyle f(x)=x-e\log x\)とおくと、\(x>e\)で
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x}>0\)
よって、
\(e^\pi>\pi^e\)
\(\pi>e\log\pi\)
\(\displaystyle f(x)=x-e\log x\)とおくと、\(x>e\)で
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{e}{x}=\frac{x-e}{x}>0\)
よって、
\(e^\pi>\pi^e\)
2.次の関数の増減と凹凸を調べなさい。
(1)\(f(x)=x+\sqrt{4-x^2}\)
定義域は\(-2\leqq x\leqq 2\)
\(\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}・(-2x)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\sqrt{2}\)のときになる。
\(\displaystyle f''(x)=-\frac{4}{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、なし。
増減表にまとめると、
よって、
\(x=\sqrt{2}\)のとき、最大値(極大値)\(2\sqrt{2}\)
\(x=-2\)のとき、最小値\(-2\)
\(-2\leqq x\leqq 2\)のとき、下に凸
\(\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}・(-2x)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\sqrt{2}\)のときになる。
\(\displaystyle f''(x)=-\frac{4}{(4-x^2)^{\frac{3}{2}}}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、なし。
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(\sqrt{2}\) | \(\cdots\) | \(2\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(-2\) | \(\nearrow\) | \(2\sqrt{2}\) | \(\searrow\) | \(2\) |
\(x=\sqrt{2}\)のとき、最大値(極大値)\(2\sqrt{2}\)
\(x=-2\)のとき、最小値\(-2\)
\(-2\leqq x\leqq 2\)のとき、下に凸
(2)\(f(x)=x^3-3x+2\)
\(f'(x)=3x^2-3\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
\(f''(x)=6x\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=0\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^3-3x+2)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^3-3x+2)=\infty\)
増減表にまとめると、
よって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(4\)
\(x=1\)のとき、極小値\(0\)
\(x<0\)のとき、上に凸
\(x>0\)のとき、下に凸
変曲点は\(x=0,f(x)=2\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
\(f''(x)=6x\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=0\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^3-3x+2)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^3-3x+2)=\infty\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\infty\) |
\(x=-1\)のとき、極大値\(4\)
\(x=1\)のとき、極小値\(0\)
\(x<0\)のとき、上に凸
\(x>0\)のとき、下に凸
変曲点は\(x=0,f(x)=2\)
(3)\(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}\)
定義域は\(x\neq0\)
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
\(\displaystyle f''(x)=\frac{2}{x^3}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、存在しない。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=\infty\)
増減表にまとめると、
よって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(-2\)
\(x=1\)のとき、極小値\(2\)
\(x<0\)のとき、上に凸
\(x>0\)のとき、下に凸
\(\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
\(\displaystyle f''(x)=\frac{2}{x^3}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、存在しない。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=\infty\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(-2\) | \(\searrow\) | \(2\) | \(\nearrow\) | \(\infty\) |
\(x=-1\)のとき、極大値\(-2\)
\(x=1\)のとき、極小値\(2\)
\(x<0\)のとき、上に凸
\(x>0\)のとき、下に凸
(4)\(f(x)=x(x+1)(x+2)\)
\(f'(x)=3x^2+6x+2\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{3}\)のときになる。
\(f''(x)=6x+6\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=-1\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x(x+1)(x+2)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x(x+1)(x+2)=\infty\)
増減表にまとめると、
よって、
\(\displaystyle x=-1-\frac{1}{\sqrt{3}}\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\)
\(\displaystyle x=-1+\frac{1}{\sqrt{3}}\)のとき、極小値\(\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}\)
\(x<-1\)のとき、上に凸
\(x>-1\)のとき、下に凸
変曲点は\(x=-1,f(x)=0\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\frac{-3\pm\sqrt{3}}{3}\)のときになる。
\(f''(x)=6x+6\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=-1\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x(x+1)(x+2)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x(x+1)(x+2)=\infty\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle -1-\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle -1+\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}\) | \(\nearrow\) | \(\infty\) |
\(\displaystyle x=-1-\frac{1}{\sqrt{3}}\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}\)
\(\displaystyle x=-1+\frac{1}{\sqrt{3}}\)のとき、極小値\(\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}\)
\(x<-1\)のとき、上に凸
\(x>-1\)のとき、下に凸
変曲点は\(x=-1,f(x)=0\)
(5)\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
\(\displaystyle f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=0,\pm\sqrt{3}\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x}{1+x^2}\right)=0\)
増減表にまとめると、
よって、
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
\(x=1\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(x<-\sqrt{3},0< x< \sqrt{3}\)のとき、上に凸
\(-\sqrt{3}< x< 0,\sqrt{3}< x\)のとき、下に凸
変曲点は
\(x=0,f(x)=0\)
\(\displaystyle x=-\sqrt{3},f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{3},f(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=\pm1\)のときになる。
\(\displaystyle f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=0,\pm\sqrt{3}\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x}{1+x^2}\right)=0\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(-\sqrt{3}\) | \(\cdots\) | \(-1\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\sqrt{3}\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4}\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\searrow\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}\) | \(\searrow\) |
\(x=-1\)のとき、極大値\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
\(x=1\)のとき、極小値\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(x<-\sqrt{3},0< x< \sqrt{3}\)のとき、上に凸
\(-\sqrt{3}< x< 0,\sqrt{3}< x\)のとき、下に凸
変曲点は
\(x=0,f(x)=0\)
\(\displaystyle x=-\sqrt{3},f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{3},f(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
(6)\(f(x)=|x-1||x+2|\)
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+x-2\ (x\leqq-2,x\geqq1) \\ -x^2-x+2\ (-2< x< 1)\end{array}\right.\)
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{l}2x+1\ (x\leqq-2,x\geqq1) \\ -2x-1\ (-2< x< 1)\end{array}\right.\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)のときになる。
\(f''(x)=\left\{\begin{array}{l}2\ (x\leqq-2,x\geqq1) \\ -2\ (-2< x< 1)\end{array}\right.\)
\(f''(x)=0\)となるのは、存在しない。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}(x^2+x-2)=\infty\)
増減表にまとめると、
よって、
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{9}{4}\)
\(-2< x< 1\)のとき、上に凸
\(x<-2,x>1\)のとき、下に凸
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{l}2x+1\ (x\leqq-2,x\geqq1) \\ -2x-1\ (-2< x< 1)\end{array}\right.\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)のときになる。
\(f''(x)=\left\{\begin{array}{l}2\ (x\leqq-2,x\geqq1) \\ -2\ (-2< x< 1)\end{array}\right.\)
\(f''(x)=0\)となるのは、存在しない。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}(x^2+x-2)=\infty\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(-2\) | \(\cdots\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | ||
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{9}{4}\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\infty\) |
\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{9}{4}\)
\(-2< x< 1\)のとき、上に凸
\(x<-2,x>1\)のとき、下に凸
(7)\(f(x)=x^3-6x^2+9x+3\)
\(f'(x)=3x^2-12x+9\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=1,3\)のときになる。
\(f''(x)=6x-12\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=2\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+3)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x+3)=\infty\)
増減表にまとめると、
よって、
\(x=1\)のとき、極大値\(7\)
\(x=3\)のとき、極小値\(3\)
\(x<2\)のとき、上に凸
\(x>2\)のとき、下に凸
変曲点は\(x=2,f(x)=5\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=1,3\)のときになる。
\(f''(x)=6x-12\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=2\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+3)=-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x+3)=\infty\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(3\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(7\) | \(\searrow\) | \(5\) | \(\searrow\) | \(3\) | \(\nearrow\) | \(\infty\) |
\(x=1\)のとき、極大値\(7\)
\(x=3\)のとき、極小値\(3\)
\(x<2\)のとき、上に凸
\(x>2\)のとき、下に凸
変曲点は\(x=2,f(x)=5\)
(8)\(f(x)=x^2e^{-x}\)
\(f'(x)=xe^{-x}(2-x)\)
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=0,2\)のときになる。
\(f''(x)=e^{-x}(x^2-4x+2)\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=2\pm\sqrt{2}\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^2e^{-x})=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2e^{-x})=0\)
増減表にまとめると、
\(x=2\)のとき、極大値\(\displaystyle \frac{4}{e^2}\)
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
\(2-\sqrt{2}< x< 2+\sqrt{2}\)のとき、下に凸
\(x<2-\sqrt{2},x>2+\sqrt{2}\)のとき、上に凸
\(f'(x)=0\)となるのは、\(x=0,2\)のときになる。
\(f''(x)=e^{-x}(x^2-4x+2)\)
\(f''(x)=0\)となるのは、\(x=2\pm\sqrt{2}\)のときになる。
また、極限は
\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x^2e^{-x})=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(x^2e^{-x})=0\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(2-\sqrt{2}\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) | \(2+\sqrt{2}\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\nearrow\) | \(\frac{4}{e^2}\) | \(\searrow\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(x=0\)のとき、極小値\(0\)
\(2-\sqrt{2}< x< 2+\sqrt{2}\)のとき、下に凸
\(x<2-\sqrt{2},x>2+\sqrt{2}\)のとき、上に凸
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