【微分積分】3-5-1 平均値の定理｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「平均値の定理」について、ロールの定理・コーシーの平均値の定理とあわせてわかりやすく解説します。定義や証明、応用例を通して、微分法の本質的な考え方を体系的に理解できます。
平均値の定理の定義と基本性質
【ロールの定理】
関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で連続、開区間\((a,b)\)上で微分可能で\(f(a)=f(b)\)とする。このとき
\(f'(c)=0\ (a< c< b)\)
を満たす\(c\)が存在する。
【平均値の定理】
関数\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で連続、開区間\((a,b)\)上で微分可能とする。このとき
\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\ (a< c< b)\)
を満たす\(c\)が存在する。
【コーシーの平均値の定理】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は閉区間\([a,b]\)上で連続、開区間\((a,b)\)上で微分可能で
\(g(a)\neq g(b),g'(x)\neq0\ (a< c< b)\)
とする。このとき
\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\ (a< c< b)\)
を満たす\(c\)が存在する。
【例題】次の関数で平均値の定理の条件を満たすことを示し、平均値の定理における\(x\)の値を求めなさい。
\(f(x)=x^2\)は区間\((1,2)\)で微分可能。
\(f'(x)=2x\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=3\)
よって、
\(2x=3\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{2}\)
\(f(x)=x^3\)は区間\((1,3)\)で微分可能。
\(f'(x)=3x^2\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=13\)
よって、
\(3x^2=13\)
\(1< x< 3\)より、
\(\displaystyle x=\sqrt{\frac{13}{3}}\)
\(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)は区間\((0,1)\)で微分可能。
\(\displaystyle f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1\)
よって、
\(\displaystyle -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=-1\)
\(0< x< 1\)より、
\(\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)