【微分積分】3-6-2 漸近展開｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「漸近展開」と「ランダウ記号」について、定義・計算手順・例題を通して理解を深めます。近似計算や応用問題の解法も学習できます。
ランダウの記号の定義と使い方
【ランダウの記号】
\(a\)を実数とする。自然数\(n\)に対して、関数\(f(x)\)が
\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{(x-a)^n}=0\)
を満たすとき
\(f(x)=o((x-a)^n)\ \ \ (x\to a)\)
で表す。この記号\(o((x-a)^n)\)をランダウの記号という。
【ランダウの記号の演算】
\(x\to0\)のとき、次が成り立つ。
(1)\(o(x^n)o(x^m)=o(x^{n+m})\ \ \ (x\to0)\)
(2)\(x^no(x^m)=o(x^{n+m})\ \ \ (x\to0)\)
(3)\(m\geqq n\)ならば、\(o(x^n)\pm o(x^m)=o(x^n)\ \ \ (x\to0)\)
(4)定数\(C\)に対して、\(Co(x^n)=o(x^n)\ \ \ (x\to0)\)
【例題】次の関数を\(o(x^n)\)を使って\(1\)次の項まで表示しなさい。
漸近展開の基本
【漸近展開】
関数\(f(x)\)は点\(0\)を含む開区間\(I\)上で\(C^n\)級関数とする。このとき、
\(\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)\ \ \ (x\to0)\)
が成り立つ。
【初等関数の漸近展開】
(1)\(\displaystyle e^x=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}+o(x^n)\ \ \ (x\to0)\)
(2)\(\displaystyle \sin x=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}+o(x^{2n+2})\ \ \ (x\to0)\)
(3)\(\displaystyle \cos x=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}+o(x^{2n+1})\ \ \ (x\to0)\)
(4)\(\displaystyle \log(1+x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+o(x^n)\ \ \ (x\to0)\)
(5)\(\displaystyle (1+x)^\alpha=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}\alpha \\ k \end{pmatrix}x^k+o(x^n)\ \ \ (x\to0)\)
【例題】次の関数を\(o(x^n)\)を使って\(1\)次の項まで表示しなさい。