【微分積分】5-2-2 一様収束する関数列の性質｜要点まとめ
このページでは、関数列の収束概念として重要な「一様収束」と、そのときに保たれる関数の性質について整理します。一様収束の定義、各点収束との違い、連続性・積分・微分との交換が可能になる理由など、解析学で頻出の基本事項を例とともにわかりやすく解説します。関数列の収束を正確に扱うための基礎理解を深めていきましょう。
一様収束する関数列の性質
【連続関数の一様収束極限関数の連続性】
\(I\)上の連続関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)が関数\(f\)に一様収束するとき、\(f\)も\(I\)上の連続関数である。
【一様収束に関する極限と定積分の可換性】
\(I=[a,b]\)を有界閉区間とする。\(I\)上の連続関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)が関数\(f\)に収束するとき、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)dx=\int_a^bf(x)dx\)
が成り立つ。
【一様収束に関する極限と微分の可換性】
\(I\)上の\(C^1\)級関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)が関数\(f\)に各点収束し、\(\{f'_n\}_{n=1}^\infty\)が関数\(g\)に一様収束するとき、\(f\)も\(I\)上の\(C^1\)級関数であり、\(f'=g\)が成り立つ。これは
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)=\lim_{n\to\infty}f'_n(x)\)
が成り立つ。
【広義一様収束】
\(I\)上の関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)と関数\(f\)に対して、\(J\subset I\)となる任意の有界閉区間\(J\)上で一様収束するとき、\(I\)上で広義一様収束するという。
【例題】次の\(I\)上の関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)が一様収束するか調べなさい。ただし、\(0< a< 1\)とする。