【微分積分】4-7-1 面積｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「面積」の求め方について、定義・性質を整理しながら体系的にまとめています。特に、2つの曲線で囲まれた領域の面積や、極方程式で表される曲線で囲まれた面積など、計算の基本から応用まで例題を交えて詳しく解説します。面積計算の理解を深め、複雑な領域にも対応できる確かな力を身につけましょう。
2曲線で囲まれた面積
【2曲線で囲まれた面積】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に閉区間\([a,b]\)上で連続で
\(f(x)\geqq g(x)\ \ \ (a\leqq x\leqq b)\)
とする。このとき、\(2\)直線\(y=f(x),y=g(x)\)と直線\(x=a,x=b\)で囲まれる部分の面積\(S\)は
\(\displaystyle S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\)
となる。
【例題】次の関数に囲まれた面積を求めなさい。
\(\displaystyle \frac{x}{x^2+4}=\frac{x}{8}\)
\(\displaystyle x=0,\pm2\)
関数はどちらも奇関数なので、\(x\geqq0\)の部分を\(2\)倍すればよい。
よって、求める面積\(S\)は
\(\displaystyle S=2\int_0^2\left(\frac{x}{x^2+4}-\frac{x}{8}\right)dx\)
\(\displaystyle =\left[\log(x^2+4)-\frac{x^2}{8}\right]_0^2\)
\(\displaystyle =\log2-\frac{1}{2}\)
極方程式の曲線で囲まれた面積
【極方程式の曲線で囲まれた面積】
曲線\(C\)が極座標表示を用いて\(r=f(\theta)\ \ \ (\alpha\leqq\theta\leqq\beta)\)と表されていて、\(f(\theta)\)は連続であるとする。このとき、曲線\(C\)と半直線\(\theta=\alpha,\theta=\beta\)で囲まれる部分の面積\(S\)は
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2d\theta=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta\{f(\theta)\}^2d\theta\)
となる。
【例題】次の関数に囲まれた面積を求めなさい。
\(\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos\theta)^2d\theta-\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\theta d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta)d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+2\cos\theta+\cos2\theta)d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\theta+2\sin\theta+\frac{\sin2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =1+\frac{\pi}{4}\)
\(r^4=2a^2r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\)
\(r^2=2a^2\cos2\theta\)
曲線の対称性から第\(1\)象限の面積を\(4\)倍すればよいので、求める面積\(S\)は
\(\displaystyle S=4・\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}r^2d\theta\)
\(\displaystyle =4a^2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta d\theta\)
\(\displaystyle =4a^2\left[\frac{\sin2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle =2a^2\)