【微分積分】2-3-1 指数関数・対数関数｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「指数関数」と「対数関数」について、要点と例題を通してわかりやすくまとめています。逆関数の基本的な考え方から、指数関数・対数関数の定義や性質、そして両者の関係までを体系的に整理しています。
逆関数の定義と連続単調関数の逆関数定理
【逆関数】
関数\(y=f(x)\)の値域に含まれる任意の\(y\)の値に対して、対応する\(x\)の値がただ\(1\)に定まるとき、\(x\)は\(y\)の関数と考えられる。この関数を\(x=g(y)\)とおくとき、その\(x\)と\(y\)を入れ替えて\(y=g(x)\)としたものを元の関数\(y=f(x)\)の逆関数という。この\(g(x)\)を\(f^{-1}(x)\)で表す。
【連続単調関数の逆関数定理】
区間\(I\)上で定義された関数\(y=f(x)\)が狭義単調増加かつ連続ならば、逆関数\(y=f^{-1}(x)\)が区間\(f(I)\)上で存在して、\(f^{-1}(x)\)も狭義単調増加かつ連続である。
狭義単調減少かつ連続の場合も同様に成り立つ。
指数関数・対数関数の定義と性質
【指数関数・対数関数】
\(e\)をネイピア数とする。実数\(x\)に対して\(f(x)=e^x\)を指数関数という。\(e^x\)は\(\mathbb{R}\)上で狭義単調増加かつ連続な関数である。
指数関数\(f(x)=e^x\)の逆関数を
\(f^{-1}(x)=\log x\ \ \ (x>0)\)
で表し、これを対数関数という。\(\log x\)は\(x>0\)で狭義単調増加かつ連続な関数である。
【極限の基本公式】
(1)\(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1\)
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)
【例題】次の極限値を求めなさい。
\(\displaystyle =\lim_{y\to-\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{-3y}\)
\(\displaystyle =\lim_{y\to-\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right\}^{-3}\)
\(=e^{-3}\)
\(\displaystyle =1・1・\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle =1・1・\frac{5}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{5}{4}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\log x^{\frac{1}{x-1}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}{\frac{\log x}{x-1}}\)
\(t=x-1\)とおくと、\(x\to1\)のとき\(t\to0\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0}{\frac{\log(t+1)}{t}}\)
\(=1\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to1}x^{\frac{1}{x-1}}=\lim_{x\to1}e^{\log x^{\frac{1}{x-1}}}=e\)