【微分積分】4-5-7 収束発散の判定｜問題集

\(x\geqq0\)のとき
\(\left|e^{-x^2}\cos2x\right|\leqq e^{-x^2}\)
ここで
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^{x^2}}=0\)
\(e^{-x^2}\)は\(x\to\infty\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)より高位の無限小である。
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2}dx\)は収束する。
比較判定法より、
\(\displaystyle \int_0^\infty\left|e^{-x^2}\cos2x\right|dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty e^{-x^2}\cos2xdx\)は絶対収束する。

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-\cos x}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to+0}\frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=\sqrt{2}\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\cos x}}\)は\(x\to+0\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x}\)と同位の無限大である。
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_0^\pi\frac{1}{\sqrt{1-\cos x}}dx\)は発散する。