【微分積分】2-2-1 関数の連続性｜要点まとめ

関数の連続性の定義

【各点における連続性】
点\(a\)の近傍で定義されている関数\(f(x)\)が
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
を満たすとき、\(f(x)\)は点\(a\)で連続である。

【右連続・左連続】
(1)関数\(f(x)\)の定義域は区間\([a,a+\varepsilon_0)\)を含むとする。\(f(x)\)が点\(a\)で右連続であるとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)\)
が成り立つ。
(2)関数\(f(x)\)の定義域は区間\((a-\varepsilon_0,a]\)を含むとする。\(f(x)\)が点\(a\)で左連続であるとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)=f(a)\)
が成り立つ。

【関数の各点での連続性に関する性質】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が点\(a\)で連続であれば、\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して関数
\(\displaystyle \lambda f(x)+\mu g(x),f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)},|f(x)|\)
も点\(a\)で連続である。ただし、商については\(g(a)\neq0\)とする。
点\(a\)での右連続、左連続についても同様に成り立つ。

【1点で連続であるための必要十分条件】
関数\(f(x)\)が点\(a\)で連続であるための必要十分条件は、\(f(x)\)が点\(a\)で右連続かつ左連続であることである。

【合成関数の各点での連続性】
関数\(f(x)\)が点\(x=a\)で連続であり、\(b=f(a)\)とおくときに関数\(g(y)\)が点\(y=b\)で連続であるとき、合成関数\(g(f(x))\)は点\(x=a\)で連続である。

【連続の符号保持性】
関数\(f(x)\)が点\(a\)で連続で\(f(a)>0\)ならば、ある\(\delta>0\)と定数\(C>0\)が存在して
\(f(x)>C\ \ \ (x\in U_\delta(a))\)
が成り立つ。