【微分積分】5-4-4 常微分方程式のべき級数解｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分・解析学で重要な「常微分方程式のべき級数解」について整理します。解をべき級数として仮定する基本的な考え方から、係数比較による漸化式の導出、代表的な微分方程式への適用例までをわかりやすく解説します。初等関数では解けない微分方程式を扱うための基礎的な解法として、べき級数解の理解を深めていきましょう。
べき級数を用いた常微分方程式の解法
【例題】次の微分方程式\(y=y(x)\)を求めなさい。
(1)\(y''-2xy'-2y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=0\)
\(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)とおくと、
\(\displaystyle y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\)
\(\displaystyle y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\)
すなわち
\(\displaystyle y''-2xy'-2y\)
\(\displaystyle =\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}\)
\(\displaystyle \ \ \ -2x\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}-2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n\)
\(\displaystyle \ \ \ -2x\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^n-2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\{(n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n-2a_n\}x^n\)
\(x^n\)の係数が\(0\)にならなければならないので、
\((n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n-2a_n=0\)
\(\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{n+2}a_n\)
初期条件より
\(y(0)=a_0=1\)
\(y'(0)=a_1=0\)
すなわち
\(\displaystyle a_{2m}=\frac{1}{m}a_{2m-2}=\frac{1}{m!}\)
よって、
\(\displaystyle y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)
\(\displaystyle =\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}x^{2m}\)
\(\displaystyle =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!}x^{2m}\)
\(\displaystyle =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x^2)^m}{m!}\)
\(\displaystyle =e^{x^2}\)
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