【微分積分】3-4-1 高階導関数｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分で学ぶ「高階導関数」を要点と例題で整理します。n階導関数や\(C^n\)級関数の定義、初等関数の微分の繰り返し方などを理解し、微分の拡張的な考え方を身につけましょう。
高階導関数の定義と\(C^n\)級関数の意味
【高階導関数】
関数\(f(x)\)が区間\(I\)上で微分可能で、導関数\(f'(x)\)も\(I\)上で微分可能であるとき、\(f(x)\)は2回微分可能であるという。このとき、\(f'(x)\)の導関数を\(f(x)\)の2階導関数といい、その導関数は
\(\displaystyle f''(x),f^{(2)}(x),\frac{d^2f(x)}{dx^2},y'',y^{(2)},\frac{d^2y}{dx^2}\)
などと表される。
同様に、関数\(f(x)\)の\(n-1\)階導関数\(f^{(n-1)}(x)\)が\(I\)上で微分可能であるとき、\(f(x)\)はn回微分可能であるという。このとき、\(f^{(n-1)}(x)\)の導関数を\(f(x)\)のn階導関数といい、その導関数は
\(\displaystyle f^{(n)}(x),\frac{d^nf(x)}{dx^n},y^{(n)},\frac{d^ny}{dx^n}\)
などと表される。ただし、\(f^{(0)}(x)=f(x)\)とする。
【\(C^n\)級関数】
関数\(f(x)\)が区間\(I\)上で\(n\)回微分可能で、\(f^{(n)}(x)\)が\(I\)上で連続であるとき、\(f(x)\)は\(I\)上で\(C^n\)級であるという。また、\(f(x)\)が区間\(I\)上で何回も微分可能なとき、\(f(x)\)は\(I\)上で\(C^\infty\)級であるという。
【例題】次の関数の\(2\)階導関数を答えなさい。
\(f''(t)=-g\)
代表的な初等関数のn階導関数の求め方
【初等関数の\(n\)階導関数】
\(a,\alpha\in\mathbb{R}\)とすると、\(n=1,2,\cdots\)のとき、以下が成り立つ。
(1)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}e^x=e^x\)
(2)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\sin x=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\)
(3)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\cos x=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)\)
(4)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}(x+a)^\alpha\)
\(\ \ \ =\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(x+a)^{\alpha-n}\)
(5)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\log(x+a)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+a)^n}\)
【\(n\)階導関数の線形性と合成関数】
\(a,\alpha\in\mathbb{R}\)とする。関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が共に\(n\)回微分可能のとき、以下が成り立つ。
(1)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(ax+b)=a^nf^{(n)}(ax+b)\)
(2)\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\{af(x)+bg(x)\}=af^{(n)}(x)+bg^{(n)}(x)\)
【例題】次の関数の\(n\)階導関数を答えなさい。
\(f^{(n)}(x)=\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\left\{(-1)^nn!\frac{1}{(1+x)^{n+1}}+n!\frac{1}{(1-x)^{n+1}}\right\}\)