【微分積分】4-8-1 極限公式｜問題集
1.次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}・\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)
ウォリスの公式より、
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\pi n}}{\sqrt{2n+1}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\pi n}}{\sqrt{2n+1}}\)
\(\displaystyle =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\log n!-n\log n+n}{\log n}\)
スターリングの公式より、
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n\log n-n+\frac{1}{2}\log2\pi n+o(1)-n\log n+n}{\log n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2}\log2\pi n}{\log n}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n\log n-n+\frac{1}{2}\log2\pi n+o(1)-n\log n+n}{\log n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{2}\log2\pi n}{\log n}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
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