【微分積分】4-5-4 比較判定法｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「比較判定法」について整理します。広義積分の収束・発散を判定する際、基準となる関数との比較がどのように行われるのかを、定義や考え方、具体的な例題を通してわかりやすく解説します。無限区間や特異点を含む積分の性質を正しく理解し、広義積分の収束判定の基礎力を確実に身につけていきましょう。
広義積分における比較判定法の基本
【広義積分の収束条件】
(1)広義積分\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx\)が収束するための必要十分条件は\(\alpha>1\)である。
(2)広義積分\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^\alpha}dx\)が収束するための必要十分条件は\(\alpha<1\)である。
【比較判定法】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)はともに区間\((a,b]\)において不定積分をもち、次の不等式が成り立つとする。
\(|f(x)|\leqq g(x)\ \ \ (a< x\leqq b)\)
このとき、広義積分\(\displaystyle \int_a^bg(x)dx\)が収束すれば、広義積分\(\displaystyle \int_a^bf(x)dx\)も収束する。
区間\((a,b]\)を\([a,b),[a,\infty),(-\infty,b]\)に置き換えた広義積分についても同様に成り立つ。
【広義積分の絶対収束】
関数\(f(x)\)は区間\((a,\infty]\)において不定積分をもち、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty|f(x)|dx\)が収束するとする。このとき、広義積分\(\displaystyle \int_a^\infty f(x)dx\)も収束する。
区間\((a,b]\)を\([a,b),[a,\infty),(-\infty,b]\)に置き換えた広義積分についても同様に成り立つ。
【絶対収束・条件収束】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)において不定積分をもつとする。\(I\)は\((a,b],[a,b),[a,\infty),(-\infty,b]\)のいずれかとしたとき、
(1)広義積分\(\displaystyle \int_I|f(x)|dx\)が収束するとき、広義積分\(\displaystyle \int_If(x)dx\)は絶対収束する。
(2)広義積分\(\displaystyle \int_I|f(x)|dx\)は発散するが、\(\displaystyle \int_If(x)dx\)が収束するとき、広義積分\(\displaystyle \int_If(x)dx\)は条件収束する。
【例題】次の広義積分の収束発散を調べなさい。
\(\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x^2+1}\right|\leqq\frac{1}{x^2+1}\)
広義積分\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{x^2+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{1}{x^2+1}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}[\tan^{-1}x]_0^t\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\tan^{-1}t\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_0^\infty\left|\frac{\sin x}{x^2+1}\right|dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x^2+1}dx\)は絶対収束する。
第\(1\)項は定積分なので収束する。
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\)において
\(\displaystyle 0\leqq\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\leqq\frac{1}{\sqrt{x^3}}\)
広義積分\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x^3}}dx=2\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}dx\)は収束する。
第\(1\)項は定積分なので収束する。
広義積分\(\displaystyle \int_\frac{\pi}{2}^\infty\frac{\sin x}{x}dx\)において
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\int_\frac{\pi}{2}^t\frac{\sin x}{x}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to\infty}\left(\left[\frac{-\cos x}{x}\right]_\frac{\pi}{2}^t-\int_\frac{\pi}{2}^t\frac{\cos x}{x^2}dx\right)\)
\(\displaystyle \frac{\cos x}{x^2}\)において
\(\displaystyle \frac{\cos x}{x^2}\leqq\frac{1}{x^2}\)
広義積分\(\displaystyle \int_\frac{\pi}{2}^\infty\frac{1}{x^2}dx=\frac{2}{\pi}\)
比較判定法より
\(\displaystyle \int_\frac{\pi}{2}^\infty\frac{\sin x}{x}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx\)は収束する。