【微分積分】4-3-4 漸化式の積分｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「漸化式の積分」について整理します。ウォリス積分を例に、積分計算に漸化式を導入する考え方を確認し、複雑な積分を効率的に計算する方法を学びます。問題を通して、積分と漸化式を結び付ける数学的発想を身につけましょう。
ウォリス積分とは何か
【ウォリス積分】
\(0\)以上の整数\(n\)に対して以下が成り立つ
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx\)
\(\displaystyle \ \ \ =\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}・\frac{\pi}{2}(nが偶数のとき) \\ \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!}(nが奇数のとき)\end{array}\right.\)
漸化式を利用した積分の計算方法
【例題】次の問いに答えなさい。
(1)\(n=0,1,2,\cdots\)に対して\(\displaystyle I_n=\int\tan^nxdx\)とおくとき、\(\displaystyle I_{n+2}=\frac{1}{n+1}\tan^{n+1}x-I_n\ (n=0,1,2,\cdots)\)を証明しなさい。
\(\displaystyle I_{n+2}=\int\tan^nx\tan^2xdx\)
\(\displaystyle =\int\tan^nx\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\)
\(\displaystyle =\int\{\tan^nx(\tan x)'-\tan^nx\}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n+1}\tan^{n+1}x-I_n\)
\(\displaystyle =\int\tan^nx\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\)
\(\displaystyle =\int\{\tan^nx(\tan x)'-\tan^nx\}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n+1}\tan^{n+1}x-I_n\)
(2)\(n=0,1,2,\cdots\)に対して\(\displaystyle I_n=\int(\log x)^ndx\)とおくとき、\(\displaystyle I_n=x(\log x)^n-nI_{n-1}\ (n=1,2,3,\cdots)\)を証明しなさい。
\(\displaystyle I_n=x(\log x)^n-\int x・n(\log x)^{n-1}\frac{1}{x}dx\)
\(\displaystyle =x(\log x)^n-n\int(\log x)^{n-1}dx\)
\(\displaystyle =x(\log x)^n-nI_{n-1}\)
\(\displaystyle =x(\log x)^n-n\int(\log x)^{n-1}dx\)
\(\displaystyle =x(\log x)^n-nI_{n-1}\)
(3)\(a\neq0\)として、自然数\(n\)に対して\(\displaystyle I_n=\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx\)とおくとき、\(\displaystyle I_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2n-1)I_n\right\}\)
\((n=1,2,3,\cdots)\)
を証明しなさい。
\((n=1,2,3,\cdots)\)
を証明しなさい。
\(\displaystyle I_{n+1}=\frac{1}{a^2}\int\frac{(x^2+a^2)-x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}\left\{I_n-\int x・\frac{x}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}I_n+\frac{1}{2na^2}\int x\left\{\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\right\}'dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}I_n\)
\(\displaystyle \ \ \ +\frac{1}{2na^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2na^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2n-1)I_n\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}\left\{I_n-\int x・\frac{x}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}I_n+\frac{1}{2na^2}\int x\left\{\frac{1}{(x^2+a^2)^n}\right\}'dx\)
\(\displaystyle =\frac{1}{a^2}I_n\)
\(\displaystyle \ \ \ +\frac{1}{2na^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-\int\frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx\right\}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2na^2}\left\{\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2n-1)I_n\right\}\)
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