【微分積分】5-3-1 一様収束と判定法｜問題集
1.次の関数項級数が\(\mathbb{R}\)上で一様収束するか調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\)
全ての自然数\(n\)と実数\(x\)に対して
\(\displaystyle \left|\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\right|=\frac{n}{n^4+x^2}\leqq \frac{n}{n^4}\)
は成り立ち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。
\(\displaystyle \left|\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\right|=\frac{n}{n^4+x^2}\leqq \frac{n}{n^4}\)
は成り立ち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n(1+nx^2)}\)
\(\displaystyle f_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}\)は奇関数なので、\(x\geqq 0\)での増減を考える。
\(\displaystyle f'_n(x)=\frac{1+nx^2-x・2nx}{n(1+nx^2)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1-nx^2}{n(1+nx^2)^2}\)
増減表にまとめると、
全ての自然数\(n\)と実数\(x\)に対して
\(\displaystyle |f_n(x)|\leqq \frac{1}{2n\sqrt{n}}=\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}\)
は成り立ち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n(1+nx^2)}\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。
\(\displaystyle f'_n(x)=\frac{1+nx^2-x・2nx}{n(1+nx^2)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1-nx^2}{n(1+nx^2)^2}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{1}{2n\sqrt{n}}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(\displaystyle |f_n(x)|\leqq \frac{1}{2n\sqrt{n}}=\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}\)
は成り立ち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n(1+nx^2)}\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。
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