【微分積分】5-3-1 一様収束と判定法｜問題集

全ての自然数\(n\)と実数\(x\)に対して
\(\displaystyle \left|\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\right|=\frac{n}{n^4+x^2}\leqq \frac{n}{n^4}\)
は成り立ち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}n}{n^4+x^2}\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。

\(\displaystyle f_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}\)は奇関数なので、\(x\geqq 0\)での増減を考える。
\(\displaystyle f'_n(x)=\frac{1+nx^2-x・2nx}{n(1+nx^2)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1-nx^2}{n(1+nx^2)^2}\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}\)	\(\cdots\)	\(\infty\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle \frac{1}{2n\sqrt{n}}\)	\(\searrow\)	\(0\)

全ての自然数\(n\)と実数\(x\)に対して
\(\displaystyle |f_n(x)|\leqq \frac{1}{2n\sqrt{n}}=\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}\)
は成り立ち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}\)は収束する。
ワイエルシュトラスのM判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x}{n(1+nx^2)}\)は\(\mathbb{R}\)上で一様収束する。