【微分積分】7-3-1 高階偏導関数の定義｜要点まとめ
このページでは、多変数関数の解析において重要な概念である「高階偏導関数」について整理します。2階偏導関数や混合偏導関数の定義と計算方法、微分順序が入れ替え可能となる条件、さらにラプラシアンや調和関数といった基本的な応用概念まで、大学数学で押さえておくべきポイントを体系的に解説します。多変数関数の性質をより深く理解し、極値判定や偏微分方程式への応用につながる基礎力を身につけていきましょう。
偏微分の順序と高階偏導関数の性質
【2階偏導関数】
関数\(f(x,y)\)は領域\(D\)上で偏微分可能で、偏導関数\(f_x(x,y)\)と\(f_y(x,y)\)が共に\(D\)上で偏微分可能のとき、\(f(x,y)\)は\(2\)回偏微分可能であるといい、偏導関数の偏導関数
\((f_x)_x=f_{xx}\)
\((f_x)_y=f_{xy}\)
\((f_y)_x=f_{yx}\)
\((f_y)_y=f_{yy}\)
を\(f(x,y)\)の2階偏導関数という。\(z=f(x,y)\)に対して、2階偏導関数をそれぞれ
\(\displaystyle z_{xx}=f_{xx}=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\)
\(\displaystyle z_{xy}=f_{xy}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\)
\(\displaystyle z_{yx}=f_{yx}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\)
\(\displaystyle z_{yy}=f_{yy}=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\)
と表す。
【\(C^n\)級】
関数\(f(x,y)\)が\(D\)上で\(n\)回偏微分可能で、さらに\(f(x,y)\)の全ての\(n\)階偏導関数が\(D\)上で連続であるとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で\(C^n\)級であるという。
また、\(f(x,y)\)が任意の自然数\(n\)に対して\(D\)上で\(C^n\)級であるとき、\(D\)上で\(C^\infty\)級であるという。
【例題】次の関数の2階偏導関数を全て求めなさい。
ラプラシアンと調和関数
【ラプラシアンと調和関数】
\(2\)回偏微分可能な関数\(f(x,y)\)に対して
\(\Delta f(x,y)=f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)\)
とおく。また、微分作用素
\(\displaystyle \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)
をラプラシアンという。
定義域で\(\Delta f(x,y)=0\)を満たす関数を調和関数という。
【偏微分の交換可能性】
関数\(f(x,y)\)が領域\(D\)上で\(C^2\)級のとき、\(D\)の全ての点において
\(f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)\)
が成り立つ。
【高階偏微分の交換可能性】
\(f(x,y)\)が\(C^n\)級関数のとき、\(n\)階偏導関数は
\(\displaystyle \frac{\partial^n f}{\partial x^n},\frac{\partial^n f}{\partial x^{n-1}\partial y},\frac{\partial^n f}{\partial x^{n-2}\partial y^2}\)
\(\displaystyle \ \ \ \cdots,\frac{\partial^n f}{\partial x\partial y^{n-1}},\frac{\partial^n f}{\partial y^n}\)
のどれかに一致する。
【例題】次の関数のラプラシアンを求めなさい。