【微分積分】2-1-1 関数の極限の性質｜要点まとめ

このページでは、大学数学・微分積分の「関数の極限の性質」について、要点をわかりやすくまとめています。関数の極限の定義や基本的な性質を例題とともに解説。極限の考え方を基礎から理解したい人に役立ちます。

関数の極限とは？定義とその意味

【関数の極限:\(x\to a\)の場合】
関数\(f(x)\)は少なくとも点\(a\)の近傍から点\(a\)を除いたところでは定義されているとする。
実数\(\alpha\)が『任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在して、\(0\neq|x-a|< \delta(\varepsilon)\)をみたす任意の\(x\)について\(|f(x)-\alpha|<\varepsilon\)をみたす』とき、関数\(f(x)\)の点\(a\)での極限値は\(\alpha\)であるといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\ \ \)または\(\ \ f(x)\to \alpha\ \ \ (x\to a)\)
で表す。このとき、関数\(f(x)\)は点\(a\)で\(\alpha\)に収束する。

関数\(f(x)\)が点\(a\)でどのような実数\(\alpha\)にも収束しないとき、発散する。
『任意の\(K>0\)に対して、ある\(\delta(K)>0\)が存在して\(0\neq|x-a|< \delta(K)\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)>K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は点\(a\)で\(\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\infty\)
で表す。また、『任意の\(K<0\)に対して、ある\(\delta(K)>0\)が存在して\(0\neq|x-a|< \delta(K)\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)< K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は点\(a\)で\(-\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty\)
で表す。

【関数の極限:\(x\to\infty\)の場合】
関数\(f(x)\)は少なくともある\(c\)に対して区間\((c,\infty)\)で定義されているとする。
実数\(\alpha\)が『任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(L(\varepsilon)\)が存在して、\(x>L(\varepsilon)\)をみたす任意の\(x\)について\(|f(x)-\alpha|<\varepsilon\)をみたす』とき、関数\(f(x)\)の\(x\to\infty\)での極限値は\(\alpha\)であるといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\alpha\ \ \)または\(\ \ f(x)\to \alpha\ \ \ (x\to \infty)\)
で表す。このとき、関数\(f(x)\)は\(x\to\infty\)で\(\alpha\)に収束する。

関数\(f(x)\)が\(x\to\infty\)でどのような実数\(\alpha\)にも収束しないとき、発散する。
『任意の\(K>0\)に対して、ある\(L(K)\)が存在して\(x>L(K)\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)>K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は\(x\to\infty\)で\(\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty\)
で表す。また、『任意の\(K<0\)に対して、ある\(L(K)\)が存在して\(x>L(K)\)をみたす任意の\(x\)について\(f(x)< K\)をみたす』とき、\(f(x)\)は\(x\to\infty\)で\(-\infty\)に発散するといい、
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty\)
で表す。
\(x\to-\infty\)の極限についても同様に定義する。

【例題】次の関数の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to2}x^2\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to2}(2x^2-3x+1)\)
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)

関数の極限の性質まとめ

【関数の極限と数列の極限の関係】
\(a\)と\(\alpha\)を実数とする。このとき、\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\)となる必要十分条件は、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a,a_n\neq a\)を満たす任意の数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)について\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(a_n)=\alpha\)となることである。
\(a=\pm\infty,\alpha=\pm\infty\)のときにも同様に成り立つ。

【関数の極限の性質】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が\(x\to a\)のとき、収束するとする。(\(a=\pm\infty\)でも可)このとき、極限値を
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\lim_{x\to a}g(x)=\beta\)
とおくとき、次が成り立つ。
(1)\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、\(\displaystyle \lim_{x\to a}\{\lambda f(x)+\mu g(x)\}=\lambda\alpha+\mu\beta\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)
(3)\(\beta\neq0\)ならば、\(\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\)
(4)\(\displaystyle \lim_{x\to a}|f(x)|=|\alpha|\)

【関数の極限の単調性】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が\(x\to a\)のとき、収束するとする。このとき、ある\(\delta>0\)に対して
\(f(x)\leqq g(x)\ \ \ (x\in U_\delta(a),x\neq a)\)
が成り立つとき、
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\leqq \lim_{x\to a}g(x)\)
が成り立つ。
\(a=\pm\infty\)のときにも同様に成り立つ。

【はさみうち法】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が\(x\to a\)のとき、収束して
\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\alpha\)
とする。このとき、関数\(h(x)\)がある\(\delta>0\)に対して
\(f(x)\leqq h(x)\leqq g(x)\ \ \ (x\in U_\delta(a),x\neq a)\)
が成り立つとき、\(h(x)\)も\(x\to a\)のとき、収束して\(\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=\alpha\)が成り立つ。
\(a=\pm\infty\)のときにも同様に成り立つ。

【合成関数の極限】
点\(a\)の近傍で定義された関数\(f(x)\)が\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=b\)を満たし、点\(y=b\)の近傍で定義された関数\(g(y)\)が\(\displaystyle \lim_{y\to b}g(y)=g(b)\)を満たすとき、合成関数\(g(f(x))\)の極限は\(\displaystyle \lim_{x\to a}g(f(x))=g(b)\)が成り立つ。

【コーシーの収束判定法】
極限\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\)が存在するための必要十分条件は任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在して
\(0<|x-a|<\delta(\varepsilon),\ \ \ 0<|y-a|<\delta(\varepsilon)\)
を満たす任意の\(x\)と\(y\)に対して、\(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)が成り立つ。

【例題】次の関数の極限値を求めなさい。

(1)\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x-2}{x^3-8}\)
(2)\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2-3}{x^2-x+2}\)
(3)\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^n-1}{x-1}\)
(4)\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}{x-2}\)
(5)\(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2-x+1}+x}{x}\)
(6)\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\sqrt[n]{x}-1}{x-1}\)
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