【微分積分】3-2-1 初等関数の微分公式｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「初等関数の微分公式」について、要点をわかりやすく整理しています。指数関数・対数関数・三角関数・逆三角関数・双曲線関数の導関数を例題とともに確認し、基礎から応用まで体系的に理解できます。
指数関数・対数関数の導関数
【指数関数・対数関数の導関数】
(1)\(\displaystyle \frac{d}{dx}e^x=e^x\)
(2)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\log|x|=\frac{1}{x}\)
(3)\(\displaystyle \frac{d}{dx}a^x=a^x\log{a}\ \ \ (a>0)\)
(4)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\log_a|x|=\frac{1}{x\log{a}}\ \ \ (a>0,a\neq1)\)
【例題】次の関数の導関数を求めなさい。
\(\displaystyle y'=\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}・(1+x^2)'\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}・2x\)
\(\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}・2x\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}+\frac{x}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
三角関数の導関数
【三角関数の導関数】
(1)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x\)
(2)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\)
(3)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2x}\)
【例題】次の関数の導関数を求めなさい。
\(\displaystyle =-\frac{\cos x}{\sin^2x}\)
\(=-\csc x\cot x\)
\(\displaystyle =-\frac{-\sin x}{\cos^2x}\)
\(=\sec x\tan x\)
\(\displaystyle =\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{\sin^2x}\)
逆三角関数の導関数
【逆三角関数の導関数】
(1)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ (-1< x< 1)\)
(2)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ (-1< x< 1)\)
(3)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}\ \ \ (x\in\mathbb{R})\)
双曲線関数の導関数
【双曲線関数の導関数】
(1)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x\)
(2)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x\)
(3)\(\displaystyle \frac{d}{dx}\tanh x=\frac{1}{\cosh^2x}\)