【微分積分】4-2-3 部分積分法・置換積分法｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で重要な「部分積分法」と「置換積分法」について整理します。各公式の意味と使い方を例題を通して確認し、積分計算の手順やコツを身につけましょう。さらに、偶関数・奇関数の積分の性質も合わせて理解し、積分の計算力を高めます。
部分積分法の例題と解き方
【部分積分法】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が共に区間\(I\)上で\(C^1\)のとき
\(\displaystyle \int f(x)g'(x)dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)
が成り立つ。また、\(a,b\in I\)に対して
\(\displaystyle \int_a^b f(x)g'(x)dx\)
\(\displaystyle \ \ \ =[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx\)
が成り立つ。
【例題】次の不定積分・定積分を求めなさい。
\(=xe^x-e^x+C\)
\(=e^x(x-1)+C\)
\(=1・e^1-0・e^0-[e^x]_0^1\)
\(=e-(e^1-e^0)\)
\(=1\)
置換積分法の例題と解き方
【置換積分法】
関数\(f(x)\)は区間\(I\)上で連続で、関数\(x=x(t)\)が区間\(J\)上で\(C^1\)級、\(x(J)\subset I\)ならば
\(\displaystyle \int f(x)dx=\int f(x(t))\frac{dx}{dt}dt\ \ \ (t\in J)\)
が成り立つ。また、\(\alpha,\beta\in J\)について\(a=x(\alpha),b=x(\beta)\)とおくと、
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(x(t))\frac{dx}{dt}dt\)
が成り立つ。
【例題】次の不定積分・定積分を求めなさい。
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int t^5dt\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}・\frac{t^6}{6}+C\)
\(\displaystyle =\frac{(2x+3)^6}{12}+C\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\int_1^3 t^3dt\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[\frac{t^4}{4}\right]_1^3\)
\(\displaystyle =\frac{1}{8}(3^4-1^4)\)
\(\displaystyle =\frac{80}{8}\)
\(=10\)
偶関数・奇関数の積分の性質
【偶関数・奇関数の積分】
関数\(f(x)\)は区間\([-a,a]\)上で積分可能なとき、
(1)\(f(x)\)が偶関数で\(f(-x)=f(x)\)ならば
\(\displaystyle \int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx\)
(2)\(f(x)\)が奇関数で\(f(-x)=-f(x)\)ならば
\(\displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx=0\)
【例題】次の定積分を求めなさい。
\(=0\)
\(\displaystyle =2\int_0^2(x^2+1)dx\)
\(\displaystyle =2\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^2\)
\(\displaystyle =2\left(\frac{8}{3}+2\right)\)
\(\displaystyle =\frac{28}{3}\)