【微分積分】3-3-2 微分可能判定｜問題集

\(f'(x)=5-2x\)
\(f'(2)=1\)

\(f'(x)=6(3x-7)\)
\(f'(2)=-6\)

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{|x^2+x|}{x}=\lim_{x\to+0}\frac{x^2+x}{x}=1\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{|x^2+x|}{x}=\lim_{x\to-0}\frac{-(x^2+x)}{x}=-1\)
よって、\(f'_+(0)\neq f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能ではない。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to+0}x\sin\frac{1}{x}=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to-0}x\sin\frac{1}{x}=0\)
よって、\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{\sqrt{x^3+x^2}}{x}=\lim_{x\to+0}\sqrt{x+1}=1\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{\sqrt{x^3+x^2}}{x}=\lim_{x\to-0}-\sqrt{x+1}=-1\)
よって、\(f'_+(0)\neq f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能ではない。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{|x|\sin x}{x}=\lim_{x\to+0}\sin x=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{|x|\sin x}{x}=\lim_{x\to-0}-\sin x=0\)
よって、\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{|x|\tan^{-1}x}{x}=\lim_{x\to+0}\tan^{-1} x=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{|x|\tan^{-1}x}{x}=\lim_{x\to-0}-\tan^{-1} x=0\)
よって、\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}}{x}=\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}}{x}=\lim_{x\to-0}\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}=1\)
よって、\(f'_+(0)\neq f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能ではない。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{\frac{1-\cos x}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{\frac{1-\cos x}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}\frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}x^2\sin\frac{1}{x}\)
\(=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}x^2\sin\frac{1}{x}\)
\(=0\)
\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'(x)=3x^2\sin\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{x}\)
よって、
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle 3x^2\sin\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{x}\ \ \ (x\neq0) \\ 0\ \ \ (x=0)\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}\left(3x^2\sin\frac{1}{x}-x\cos\frac{1}{x}\right)=0\)
極限が\(0\)に収束するため、\(x=0\)で連続である。