【微分積分】2-2-2 連続関数の性質｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「連続関数の性質」について、要点と例題を通してわかりやすくまとめています。和・積・合成関数などの基本的な性質など、連続関数の重要な特徴を整理しています。
連続関数の基本的な性質
【連続関数】
区間\(I\)上で定義された関数\(f(x)\)が\(I\)の全ての点で連続であるとき、関数\(f(x)\)は\(I\)上で連続である。これを\(f(x)\)は\(I\)上の連続関数という。
ただし、区間\(I\)の端点も定義域に含まれる場合、端点では、左連続や右連続であることとする。
【連続関数の性質】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)が\(I\)上で連続ならば、\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して
\(\displaystyle \lambda f(x)+\mu g(x),f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)},|f(x)|\)
も\(I\)上で連続である。ただし、商については\(g(a)\neq0\)とする。
【連続関数の合成関数】
関数\(f(x)\)は\(I\)上で連続、関数\(g(y)\)は\(J\)上で連続とし、\(f(I)\subset J\)であるとする。このとき、合成関数\(g(f(x))\)も\(I\)上で連続である。
【例題】次の関数は連続関数か答えなさい。
(1)\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+4,x<2 \\ x^3,x\geqq2\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}(x^2+4)=8\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(x^3)=8\)
\(f(2)=8\)
よって、\(f(x)\)は連続関数
\(\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(x^3)=8\)
\(f(2)=8\)
よって、\(f(x)\)は連続関数
(2)\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+4,x<2 \\ 5,x=2 \\ x^3,x>2\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}(x^2+4)=8\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(x^3)=8\)
\(f(2)=5\)
よって、\(f(x)\)は連続関数ではない。\(x=2\)は除去可能な不連続点
\(\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(x^3)=8\)
\(f(2)=5\)
よって、\(f(x)\)は連続関数ではない。\(x=2\)は除去可能な不連続点
【例題】次の関数が連続関数になるように定数\(a\)を求めなさい。
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1},x>1 \\ a,x\leqq1\end{array}\right.\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2\)
より、\(x=1\)のとき、\(a=2\)になれば連続関数となる。
よって、\(a=2\)
より、\(x=1\)のとき、\(a=2\)になれば連続関数となる。
よって、\(a=2\)
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