【微分積分】4-5-5 無限大比較｜問題集

\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{\frac{1}{1-x^4}}{\frac{1}{1-x}}=\lim_{x\to1-0}\frac{1}{(1+x)(1+x^2)}=\frac{1}{4}\)
\(\displaystyle \frac{1}{1-x^4}\)は\(x\to1-0\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{1-x}\)と同位の無限大である。
よって、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1-x}dx\)は発散するので、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1-x^4}dx\)は発散する。

\(\displaystyle \lim_{x\to+0}\frac{\frac{\log x}{\sqrt{\sin x}}}{\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}=\lim_{x\to+0}\sqrt{\frac{x}{\sin x}}・x^{\frac{1}{4}}\log x=0\)
\(\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{\sin x}}\)は\(x\to+0\)のとき、\(\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}\)より低位の無限大である。
よって、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}dx\)は収束するので、
\(\displaystyle \int_0^1\frac{\log x}{\sqrt{\sin x}}dx\)は収束する。