【微分積分】4-7-2 曲線の長さ｜要点まとめ
このページでは、大学数学の微分積分で扱う「曲線の長さ」について整理します。弧長公式の意味や導出、パラメータ表示された曲線や極方程式の曲線に対する長さの求め方を、具体的な例題を通してわかりやすく解説します。典型的な計算パターンを押さえ、曲線の長さに関する理解をより確かなものにしていきましょう。
曲線の長さ
【曲線の長さ】
平面上の点\(A\)と\(B\)を端点とする曲線\(C\)がある。このとき、点\(A\)から\(B\)に向かって\(C\)上に分点
\(A=P_0,P_1,P_2,\cdots,P_{n-1},P_n=B\)
をとり、曲線\(C\)を\(P_{k-1}\)から\(P_k\)までの微小な曲線\(C_k(k=1,2,\cdots,n)\)に分割する。曲線\(C_k\)を線分\(P_{k-1}P_k\)で近似して、その長さ\(\overline{P_{k-1}P_k}\)の総和
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\overline{P_{k-1}P_k}=\overline{P_0P_1}+\overline{P_1P_2}+\cdots+\overline{P_{n-1}P_n}\)
を考える。ここで、\(\displaystyle \max_{1\leqq k\leqq n}\overline{P_{k-1}P_k}\)が\(0\)に収束するように曲線\(C\)の分割を細かくしていくとき、線分の長さの総和\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\overline{P_{k-1}P_k}\)が一定の値\(L\)に収束するとき、曲線\(C\)は求長可能であるといい、\(L\)を曲線\(C\)の長さという。
【媒介変数表示の曲線の長さ】
曲線\(C\)が媒介変数表示を用いて
\(x=\varphi(t),y=\psi(t)\ \ \ (\alpha\leqq t\leqq \beta)\)
と表されていて、\(\varphi(t),\psi(t)\)は共に\(C^1\)級であるとする。このとき、曲線\(C\)の弧長\(L\)は
\(\displaystyle L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\)
\(\displaystyle =\int_\alpha^\beta\sqrt{\{\varphi'(t)\}^2+\{\psi'(t)\}^2}dt\)
で表される。
【グラフの長さ】
\(C^1\)級関数のグラフ\(y=f(x)\ \ \ (a\leqq x\leqq b)\)の弧長\(L\)は
\(\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx\)
で表される。
【例題】次の関数の曲線の長さを求めなさい。
極方程式の曲線の長さ
【極方程式の曲線の長さ】
曲線\(C\)が極座標表示を用いて\(r=f(\theta)\ \ \ (\alpha\leqq\theta\leqq\beta)\)と表されていて、\(f(\theta)\)は\(C^1\)級であるとする。このとき、曲線\(C\)の弧長\(L\)は
\(\displaystyle L=\int_\alpha^\beta\sqrt{\{f(\theta)\}^2+\{f'(\theta)\}^2}d\theta\)
となる。