【微分積分】1-3-3 漸化式と区間縮小法｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「漸化式と区間縮小法」について、要点をわかりやすくまとめています。単調数列の漸化式を利用した収束の証明や、区間縮小法による不動点の求め方を例題を交えて丁寧に解説。漸化式を使った極限の考え方を基礎から理解したい人におすすめです。
単調数列の漸化式による収束の証明
【例題】次の漸化式で定まる数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の極限を求めなさい。
(1)\(a_1=1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}\)
\(\alpha=\sqrt{\alpha+6}\)を解くと、
\(\alpha^2=\alpha+6\)
\((\alpha-3)(\alpha+2)=0\)
\(\alpha=3,-2\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(1\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=3\)
\(\alpha^2=\alpha+6\)
\((\alpha-3)(\alpha+2)=0\)
\(\alpha=3,-2\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は上に有界な単調増加数列なので、
\(a_1\leqq a_n\)
\(1\leqq\alpha\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=3\)
(2)\(\displaystyle a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{4}(a_n^2+3)\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{1}{4}(\alpha^2+3)\)を解くと、
\(4\alpha=\alpha^2+3\)
\((\alpha-1)(\alpha-3)=0\)
\(\alpha=1,3\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は下に有界な単調減少数列なので、
\(a_n\leqq a_1\)
\(\alpha\leqq2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1\)
\(4\alpha=\alpha^2+3\)
\((\alpha-1)(\alpha-3)=0\)
\(\alpha=1,3\)
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は下に有界な単調減少数列なので、
\(a_n\leqq a_1\)
\(\alpha\leqq2\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=1\)
区間縮小法と不動点の求め方
【区間縮小法】
(1)閉空間の列\(I_n=[a_n,b_n]\)が\(I_{n+1}\subset I_n(n\in\mathbb{N})\)を満たすとき、全ての\(I_n\)に含まれる実数が存在する。
\(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n\neq\emptyset\)
(2)\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\)のとき、
\(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}I_n=\{a\}\)となり、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=a\)
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