【微分積分】5-2-2 一様収束する関数列の性質｜問題集
1.次の\(I\)上の関数列\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)が一様収束するか調べなさい。
(1)\(I=[0,1],\ f_n(x)=x(1-x)^n\)
\(0< x\leqq 1\)より、極限関数は
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}x(1-x)^n=0\)
また、
\(f'_n(x)=(1-x)^n-nx(1-x)^{n-1}\)
\(=\{1-(n+1)x\}(1-x)^{n-1}\)
増減表にまとめると、
すなわち、
\(\displaystyle \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in I}f_n(x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\)
よって、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(I\)上で\(f\)に一様収束する。
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}x(1-x)^n=0\)
また、
\(f'_n(x)=(1-x)^n-nx(1-x)^{n-1}\)
\(=\{1-(n+1)x\}(1-x)^{n-1}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{1}{n}\) | \(\cdots\) | \(1\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(\displaystyle \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in I}f_n(x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\)
よって、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(I\)上で\(f\)に一様収束する。
(2)\(\displaystyle I=\mathbb{R},\ f_n(x)=\frac{1}{1+n^2x^2}\)
\(x\neq0\)のとき、極限関数は
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}=0\)
極限関数\(f\)は\(x=0\)で不連続なので、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(f\)に\(x=0\)において一様収束しない。
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}=0\)
極限関数\(f\)は\(x=0\)で不連続なので、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(f\)に\(x=0\)において一様収束しない。
(3)\(\displaystyle I=\mathbb{R},\ f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}\)
\(x\neq0\)のとき、極限関数は
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}=0\)
また、
\(\displaystyle f'_n(x)=\frac{n(1+n^2x^2)-nx・2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}\)
増減表にまとめると、
すなわち、
\(\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(\mathbb{R}\)上で\(f\)に一様収束しない。
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}=0\)
また、
\(\displaystyle f'_n(x)=\frac{n(1+n^2x^2)-nx・2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}\)
増減表にまとめると、
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(\displaystyle \frac{1}{n}\) | \(\cdots\) | \(\infty\) |
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\searrow\) | \(0\) |
\(\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(\mathbb{R}\)上で\(f\)に一様収束しない。
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