【微分積分】5-2-2 一様収束する関数列の性質｜問題集

\(0< x\leqq 1\)より、極限関数は
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}x(1-x)^n=0\)
また、
\(f'_n(x)=(1-x)^n-nx(1-x)^{n-1}\)
\(=\{1-(n+1)x\}(1-x)^{n-1}\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{1}{n}\)	\(\cdots\)	\(1\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle \frac{1}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\)	\(\searrow\)	\(0\)

すなわち、
\(\displaystyle \sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in I}f_n(x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\)
よって、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(I\)上で\(f\)に一様収束する。

\(x\neq0\)のとき、極限関数は
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^2x^2}=0\)
極限関数\(f\)は\(x=0\)で不連続なので、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(f\)に\(x=0\)において一様収束しない。

\(x\neq0\)のとき、極限関数は
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{1}{nx}+nx}=0\)
また、
\(\displaystyle f'_n(x)=\frac{n(1+n^2x^2)-nx・2n^2x}{(1+n^2x^2)^2}\)
\(\displaystyle =\frac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}\)
増減表にまとめると、

増減表

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\displaystyle \frac{1}{n}\)	\(\cdots\)	\(\infty\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\displaystyle \frac{1}{2}\)	\(\searrow\)	\(0\)

すなわち、
\(\displaystyle \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|=\frac{1}{2}\)
よって、
\(\{f_n\}_{n=1}^\infty\)は\(\mathbb{R}\)上で\(f\)に一様収束しない。