【微分積分】4-1-1 定積分の定義｜要点まとめ

リーマン和による定積分の定義

【区間の分割】
閉区間\(I=[a,b]\)に対して、次のような\(I\)の分点の組
\(\Delta:a=x_0< x_1< \cdots< x_{n-1}< x_n=b\)
を\(\Delta=\{x_k\}_{k=0}^n\)で表し、\(I\)の分割という。自然数\(n\)も自由に選んでよい。また、\(I\)の分割\(\Delta=\{x_k\}_{k=0}^n\)に対して
\(|\Delta|:=\max\{x_k-x_{k-1}|k=1,2,\cdots,n\}\)
を分割\(\Delta\)の幅という。

【リーマン和】
\(f(x)\)を閉区間\(I=[a,b]\)で有界な関数とする。\(I\)の分割\(\Delta=\{x_k\}_{k=0}^n\)と代表点\(\xi_k\in[x_{k-1},x_k]\)を決めたとき
\(\displaystyle S(f;\Delta,\{\xi_k\}):=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})\)
を\((\Delta,\{\xi_k\})\)に関する\(f(x)\)のリーマン和という。

【積分の定義】
関数\(f(x)\)は有界閉区間\(I=[a,b]\)上で有界な関数とする。ある実数\(\alpha\)が存在して代表点\(\{\xi_k\}\)の選び方によらず
\(\displaystyle \lim_{|\Delta|\to0}S(f;\Delta,\{\xi_k\})=\alpha\)
が成り立つとき、\(f(x)\)は\(I\)上で積分可能であるという。このとき、
\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\alpha\)
と表し、これを\(f(x)\)の\(I\)上での積分またはリーマン積分という。定積分ということもある。