【微分積分】5-1-2 絶対収束と条件収束｜要点まとめ
このページでは、大学数学で重要となる「絶対収束」と「条件収束」について整理します。級数がどのような条件で収束するのかを見極めるための基本概念から、交代級数に適用されるライプニッツの定理まで、代表例とともにわかりやすく解説します。収束の種類を正確に理解することで、より高度な級数論や解析学への橋渡しとなる基礎力を身につけていきましょう。
絶対収束と条件収束の定義と基本性質
【絶対収束する級数の収束性】
級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)が収束すれば、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)も収束する。
【絶対収束・条件収束】
(1)級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)が収束するとき、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は絶対収束するという。
(2)級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\)が発散し、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が収束するとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は条件収束するという。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}\)
全ての自然数\(n\)に対して
\(\displaystyle \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\leqq \frac{1}{n^2}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)は収束するので、比較判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n^2}\)は絶対収束する。
ライプニッツの定理（交代級数の収束判定）
【交代級数】
\(a_n>0\)のとき
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots\)
のように符号が交互に現れる級数を交代級数という。
【ライプニッツの定理】
\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)は\(a_n>0\)である単調減少数列で、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)ならば、交代級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\)は収束する。
【絶対収束級数の項の入れ替えと和の関係】
絶対収束級数は項の順序を入れ替えても和は変わらない。\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)を絶対収束する級数\(\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\)を全単射とし、\(b_n=a_{\phi(n)}\)とおくとき、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)も絶対収束し
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)
が成り立つ。
【例題】次の級数の収束発散を調べなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}ne^{-n}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n}{e^n}\)とおくと
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{e^{n+1}}・\frac{e^n}{n}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{1}{e}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{e}\)
ダランベールの判定法より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は収束する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}ne^{-n}\)は絶対収束する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+3n+1}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n}{n^2+3n+1}\)とおくと
\(\displaystyle a_n>\frac{n}{n^2+3n^2+n^2}=\frac{1}{5n}\ (n\geqq1)\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)は発散するので、
比較判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)も発散する。
すなわち、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+3n+1}\)は絶対収束しない。
また、\(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)は単調減少数列で、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)である。
ライプニッツの定理より
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+3n+1}\)は条件収束する。
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\sin^3\frac{1}{n}\)
\(0< \sin x< x\ (0< x< \pi)\)より
\(\displaystyle \left|(-1)^{n-1}\sin^3\frac{1}{n}\right|=\sin^3\frac{1}{n}< \frac{1}{n^3}\ (n\geqq1)\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)は収束するので、
比較判定法より、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n-1}\sin^3\frac{1}{n}\right|\)も収束する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\sin^3\frac{1}{n}\)は絶対収束する。
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