【微分積分】6-2-1 2変数関数の連続性｜要点まとめ
このページでは、多変数解析における重要概念である「2変数関数の連続性」について整理します。各点における連続性の定義を確認し、極限との関係を通して関数が連続であることの意味を理解します。さらに、一様連続との違いにも触れながら、今後学ぶ偏微分や積分の理論を正しく扱うための基礎知識を身につけていきましょう。
各点における2変数関数の連続性
【2変数関数の各点での連続性】
\(\mathbb{R}^2\)の部分集合\(D\)上で定義された関数\(f(x,y)\)があり、\((a,b)\in D\)とする。
(1)点\((a,b)\)が\(D\)の内点で
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)\)
を満たすとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で連続であるという。これを「任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在し、\(||\boldsymbol{x-a}||<\delta(\varepsilon)\)を満たす任意の\(\boldsymbol{x}=(x,y)\)について
\(|f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon\)
となる」という条件を満たす。
(2)点\((a,b)\)が\(D\)の境界点で\((a,b)\)に\(D\)の中から近づいたときの極限について
\(\displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to(a,b)\\(x,y)\in D}}f(x,y)=f(a,b)\)
を満たすとき、\(f(x,y)\)は点\((a,b)\)で連続であるという。これを「任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在し、\(||\boldsymbol{x-a}||<\delta(\varepsilon)\)を満たす任意の\(\boldsymbol{x}=(x,y)\)について
\(|f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon\)
となる」という条件を満たす。
【2変数関数の各点での連続性の性質】
関数\(f(x,y)\)と\(g(x,y)\)が共に点\((a,b)\)で連続であるとき、\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、
・\(\lambda f(x,y)+\mu g(x,y)\)
・\(f(x,y)g(x,y)\)
・\(\displaystyle \frac{f(x,y)}{g(x,y)}\)
・\(|f(x,y)|\)
も点\((a,b)\)で連続である。ただし、\(g(a,b)\neq0\)とする。
【2変数関数の合成関数の各点での連続性】
関数\(u=f(x,y)\)と\(v=g(x,y)\)が共に点\((a,b)\)で連続で、関数\(h(u,v)\)は点\(f(a,b),g(a,b)\)で連続とする。
このとき、合成関数\(h(f(x,y),g(x,y))\)も点\((a,b)\)で連続である。
2変数関数が連続であるとは
【2変数関数の連続性】
\(\mathbb{R}^2\)の部分集合\(D\)上の関数\(f(x,y)\)が\(D\)の全ての点で連続であるとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上で連続であるという。このとき、\(f(x,y)\)は\(D\)上の連続関数という。
「任意の\(\boldsymbol{a}=(a,b)\in D\)と任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\boldsymbol{a},\varepsilon)>0\)が存在し、\(||\boldsymbol{x-a}||<\delta(\boldsymbol{a},\varepsilon)\)を満たす任意の\(\boldsymbol{x}=(x,y)\in D\)について
\(|f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon\)
となる」という条件を満たす。
【2変数連続関数の性質】
関数\(f(x,y)\)と\(g(x,y)\)が共に点\(D\)上で連続であるとき、\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、
・\(\lambda f(x,y)+\mu g(x,y)\)
・\(f(x,y)g(x,y)\)
・\(\displaystyle \frac{f(x,y)}{g(x,y)}\)
・\(|f(x,y)|\)
も点\(D\)上で連続である。ただし、\(g(a,b)\neq0\)とする。
【2変数連続関数の合成関数の連続性】
関数\(u=f(x,y)\)と\(v=g(x,y)\)が共に点\(D\)上で連続、関数\(h(u,v)\)はその定義域上で連続、合成関数\(h(f(x,y),g(x,y))\)が定まるとする。
このとき、\(h(f(x,y),g(x,y))\)も点\(D\)上で連続である。
【例題】次の関数の連続性を調べなさい。
\(\displaystyle =\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}\log(x^2+y^2)\ ((x,y)\neq(0,0)) \\ 0\ ((x,y)=(0,0))\end{array}\right.\)
一様連続との違い
【最大値・最小値の定理】
有界閉集合上で連続な関数は最大値と最小値をもつ。
【一様連続】
\(D\)上で定義された関数\(f(\boldsymbol{x})\)が「任意の\(\varepsilon>0\)に対して、ある\(\delta(\varepsilon)>0\)が存在し、\(||\boldsymbol{x-y}||<\delta(\varepsilon)\)を満たす任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in D\)について
\(|f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{y})|<\varepsilon\)
となる」条件を満たすとき、\(f(\boldsymbol{x})\)は\(D\)上で一様連続である。
【有界閉集合上の連続関数の一様連続性】
有界閉集合上で連続な関数は一様連続である。
【連続関数の基本性質】
\(\mathbb{R}^n\)上で定義された関数\(f(\boldsymbol{x})\)が連続のとき、
\(K=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n|f(\boldsymbol{x})=c\}\)
は\(\mathbb{R}^n\)の閉集合である。