【微分積分】1-2-2 級数の収束と発散｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「級数の収束と発散」について、基礎からわかりやすくまとめています。級数が収束するための必要条件や、比の判定法・積分判定法・交代級数の考え方を整理。例題を通して収束・発散の判断を確実に理解できる内容です。
級数が収束するための必要条件
【級数が収束する必要条件】
(1)級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)が収束するならば、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0\)である。
(2)\(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\)が\(0\)に収束しないならば、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は発散する。
【例題】次の級数の収束・発散を答えなさい。
(1)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^3}{n^3+1}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n^3}{n^3+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1+\frac{1}{n^3}}=2(\neq0)\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^3}{n^3+1}\)は発散する。
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^3}{n^3+1}\)は発散する。
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}\)は存在しないので、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\)は発散する。
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\)は発散する。
(3)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})\)
\(\ \ \ +\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=\sqrt{n+1}-1\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-1)=\infty\)
\(\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})\)
\(\ \ \ +\cdots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)
\(=\sqrt{n+1}-1\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-1)=\infty\)
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