【微分積分】3-1-2 導関数の性質｜要点まとめ

導関数の定義と意味

【導関数】
開空間\(I\)上で定義された関数\(f(x)\)が\(I\)の全ての点で微分可能であるとき、\(f(x)\)は\(I\)上で微分可能であるという。また、
\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to a}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ \ \ (x\in I)\)
を\(f(x)\)の導関数という。\(y=f(x)\)については、その導関数は
\(\displaystyle f^{(1)}(x),\frac{df(x)}{dx},y',y^{(1)},\frac{dy}{dx}\)
などと表される。
\(I\)が端点をもつ場合に次のように定める。例えば、\(I=[a,b]\)のときには、関数\(f(x)\)が
・端点以外の\(a< x< b\)では各点で微分可能
・点\(a\)で右微分可能
・点\(b\)で左微分可能
であるとき、\(I\)上で微分可能であるといい、
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{l}f'_+(a)\ \ \ (x=a) \\ \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\ \ \ (a< x< b) \\ f'_+(b)\ \ \ (x=b) \end{array}\right.\)
とする。

導関数の基本性質

和・積・商の導関数

【和・積・商の導関数】
関数\(f(x)\)と\(g(x)\)は共に区間\(I\)上で微分可能とする。
(1)(微分の線形性)\(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\)に対して、\(\displaystyle \lambda f(x)+\mu g(x)\)も区間\(I\)上で微分可能で
\(\displaystyle \{\lambda f(x)+\mu g(x)\}'=\lambda f'(x)+\mu g'(x)\)

(2)積\(f(x)g(x)\)も区間\(I\)上で微分可能で
\(\displaystyle \{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

(3)\(g(x)\neq0\)ならば、\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\)も区間\(I\)上で微分可能で
\(\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
\(\displaystyle \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}'=\frac{-g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)

合成関数の導関数（連鎖律）

【合成関数の微分法】
関数\(y=f(x)\)は区間\(I\)上で微分可能、\(z=g(y)\)は区間\(J\)上で微分可能とし、\(f(I)\subset J\)であるとする。このとき、合成関数\(z=g(f(x))\)は区間\(I\)上で微分可能で
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{d}{dy}g(y)・\frac{d}{dx}f(x)\ \ \ (y=f(x))\)
が成り立つ。このことを
\(\displaystyle \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}・\frac{dy}{dx}\)
と表すことがある。

逆関数の導関数

【逆関数の微分法】
関数\(y=f(x)\)は区間\(I\)上で微分可能でかつ狭義単調であるとする。また、導関数について\(I\)上で常に\(f'(x)\neq0\)とする。このとき、逆関数\(x=f^{-1}(y)\)は\(f(I)\)で微分可能で
\(\displaystyle \frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(x)}\)
が成り立つ。このことを
\(\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
と表すことがある。