【微分積分】3-6-4 極大・極小の判定｜問題集

\(f'(x)\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{x}・x-\log x・1}{x^2}\)
\(\displaystyle =\frac{1-\log x}{x^2}\)
\(f'(x)=0\)となるのは\(x=e\)のときである。
\(f''(x)\)
\(\displaystyle =\frac{-\frac{1}{x}・x^2-(1-\log x)・2x}{x^4}\)
\(\displaystyle =\frac{2\log x-3}{x^3}\)
\(\displaystyle f''(e)=-\frac{1}{e^3}\)
よって、
\(x=e\)のとき、極大値\(\displaystyle f(e)=\frac{1}{e}\)

\(f'(x)\)
\(=2xe^{-x}-x^2e^{-x}\)
\(=x(2-x)e^{-x}\)
\(f'(x)=0\)となるのは\(x=0,2\)のときである。
\(f''(x)\)
\(=(2-2x)e^{-x}-(2x-x^2)e^{-x}\)
\(=(x^2-4x+2)e^{-x}\)
\(f''(0)=2\)
\(f''(2)=-2e^{-2}\)
よって、
\(x=0\)のとき、極小値\(f(0)=0\)
\(x=2\)のとき、極大値\(\displaystyle f(2)=\frac{4}{e^2}\)

\(f(x)\)を\(x=0\)で漸近展開すると、
\(=x^3(1+x+o(x))-x^2(x+o(x))\)
\(=x^4+o(x^4)\)
よって、
\(x=0\)で極小となる。

\(f(x)\)を\(x=0\)で漸近展開すると、
\(\displaystyle =x^2\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)-x\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)^2\)
\(\displaystyle =x^3-\frac{x^5}{6}+o(x^5)-x\left(x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)\right)\)
\(\displaystyle =\frac{x^5}{6}+o(x^5)\)
よって、
\(x=0\)で極値を取らない。