【微分積分】4-5-2 広義積分の収束発散｜問題集

\(\displaystyle =\int_{-\infty}^0\frac{1}{x^2+4}dx+\int_0^\infty\frac{1}{x^2+4}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to-\infty}\int_t^0\frac{1}{x^2+4}dx+\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{1}{x^2+4}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to-\infty}-\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{t}{2}+\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{t}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{2}\)
よって、収束する。

\(\displaystyle =\int_{-\infty}^0\frac{x}{x^4+1}dx+\int_0^\infty\frac{x}{x^4+1}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to-\infty}\int_t^0\frac{x}{x^4+1}dx+\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{x}{x^4+1}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to-\infty}-\frac{1}{2}\tan^{-1}t^2+\lim_{t\to\infty}\frac{1}{2}\tan^{-1}t^2\)
\(\displaystyle =-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\)
\(\displaystyle =0\)
よって、収束する。

\(\displaystyle =\int_{-1}^0\frac{1}{x}dx+\int_0^1\frac{1}{x}dx\)
第\(2\)項において
\(\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x}dx=\lim_{t\to0+}\int_t^1\frac{1}{x}dx\)
\(\displaystyle =\lim_{t\to0+}-\log t\)
\(\displaystyle =\infty\)
よって、発散する。