【微分積分】6-1-3 2変数関数の極限計算｜要点まとめ
このページでは、2変数関数の極限を実際に求めるための「極限計算」に焦点を当てて整理します。極限の存在判定とは異なり、不等式評価や変数変換などを用いて極限値を求める基本的な考え方を確認します。1変数の極限計算との共通点と相違点に注意しながら、今後の連続性や偏微分の計算につながる基礎的な計算力を身につけていきましょう。
2変数関数の極限計算
【例題】次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leqq\frac{r・r}{r}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\)
\(\displaystyle \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leqq\frac{r・r}{r}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\)
(2)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t・0}{t^2+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{t^2}{t^2+t^2}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)は存在しない。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t・0}{t^2+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{t^2}{t^2+t^2}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)は存在しない。
(3)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin y}{x^2+y^2}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{|x^2\sin y|}{x^2+y^2}\leqq\frac{r^2・r}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin y}{x^2+y^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{|x^2\sin y|}{x^2+y^2}\leqq\frac{r^2・r}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin y}{x^2+y^2}=0\)
(4)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}\leqq\frac{r^3+r^3}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}2r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}\leqq\frac{r^3+r^3}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}2r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=0\)
(5)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}\leqq\frac{r^4+r^2r^2}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}2r^2=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}=0\)
\(\displaystyle \frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}\leqq\frac{r^4+r^2r^2}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}2r^2=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}=0\)
(6)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)とおく。
\(y\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=0,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0}{\sqrt{0+t^2}}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to+0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to+0}f(t,0)=\lim_{t\to+0}\frac{t}{\sqrt{t^2+0}}=\lim_{t\to+0}1=1\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)は存在しない。
\(y\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=0,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0}{\sqrt{0+t^2}}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to+0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to+0}f(t,0)=\lim_{t\to+0}\frac{t}{\sqrt{t^2+0}}=\lim_{t\to+0}1=1\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)は存在しない。
(7)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^2・0}{t^4+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x^2\)上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t^2\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t^2)=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{t^4+t^4}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)は存在しない。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^2・0}{t^4+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x^2\)上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t^2\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t^2)=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{t^4+t^4}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)は存在しない。
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