【例題】次の極限を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leqq\frac{r・r}{r}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\)
(2)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t・0}{t^2+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t)=\lim_{t\to0}\frac{t^2}{t^2+t^2}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\)は存在しない。
(3)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin y}{x^2+y^2}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{|x^2\sin y|}{x^2+y^2}\leqq\frac{r^2・r}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin y}{x^2+y^2}=0\)
(4)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{|x^3-y^3|}{x^2+y^2}\leqq\frac{r^3+r^3}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}2r=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}=0\)
(5)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)とおくと、\(|x|\leqq r,\ |y|\leqq r\)
\(\displaystyle \frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}\leqq\frac{r^4+r^2r^2}{r^2}\)
\(\displaystyle \lim_{r\to+0}2r^2=0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+x^2y^2}{2x^2+3y^2}=0\)
(6)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)とおく。
\(y\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=0,y(t)=t\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(0,t)=\lim_{t\to0}\frac{0}{\sqrt{0+t^2}}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to+0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to+0}f(t,0)=\lim_{t\to+0}\frac{t}{\sqrt{t^2+0}}=\lim_{t\to+0}1=1\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)は存在しない。
(7)\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)とおく。
\(x\)軸上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=0\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,0)=\lim_{t\to0}\frac{t^2・0}{t^4+0}=\lim_{t\to0}0=0\)
\(y=x^2\)上で原点に近づくとき、\(x(t)=t,y(t)=t^2\)として\(t\to0\)とすればよいので
\(\displaystyle \lim_{t\to0}f(t,t^2)=\lim_{t\to0}\frac{t^4}{t^4+t^4}=\lim_{t\to0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
よって、原点への近づき方を変えると極限値も変わるので、
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\)は存在しない。
