【微分積分】7-5-1 テイラーの定理｜問題集

\(f(x,y)=e^x\sin y\)より、\(f(0,0)=0\)
\(f_x(x,y)=e^x\sin y\)より、\(f_x(0,0)=0\)
\(f_y(x,y)=e^x\cos y\)より、\(f_y(0,0)=1\)
\(f_{xx}(x,y)=e^x\sin y\)より、\(f_{xx}(0,0)=0\)
\(f_{xy}(x,y)=e^x\cos y\)より、\(f_{xy}(0,0)=1\)
\(f_{yy}(x,y)=-e^x\sin y\)より、\(f_{yy}(0,0)=0\)
よって、
\(P_2(x,y)\)
\(\displaystyle =0+0+y+\frac{1}{2}(0+2xy+0)\)
\(\displaystyle =y+xy\)

\(f(x,y)=e^{x+y}\)より、\(f(0,0)=1\)
\(f_x(x,y)=e^{x+y}\)より、\(f_x(0,0)=1\)
\(f_y(x,y)=e^{x+y}\)より、\(f_y(0,0)=1\)
\(f_{xx}(x,y)=e^{x+y}\)より、\(f_{xx}(0,0)=1\)
\(f_{xy}(x,y)=e^{x+y}\)より、\(f_{xy}(0,0)=1\)
\(f_{yy}(x,y)=e^{x+y}\)より、\(f_{yy}(0,0)=1\)
よって、
\(\displaystyle P_2(x,y)=1+x+y+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)\)