【微分積分】3-5-3 不定形の極限｜問題集

\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{e^x-1}{x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}e^x-1=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{e^x-1}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{(e^x-1)'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{e^x}{1}\)
\(=1\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}e^{\frac{1}{x}\log(1+x)}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{1}{x}\log(1+x)\)において
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\log(1+x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\log(1+x)}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{\{\log(1+x)\}'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}\)
\(\displaystyle =1\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0+}e^{\frac{\log(1+x)}{x}}=e^1=e\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\sin x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\sqrt{x}=0\)
\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{(\sin x)'}{(\sqrt{x})'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0+}\frac{\cos x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\)
\(=0\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\log x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1}(1-x)=0\)
\((1-x)'=-1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\log x}{1-x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{(\log x)'}{(1-x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{-1}\)
\(=-1\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to4}(\sqrt{x}-2)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to4}(x-4)=0\)
\((x-4)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to4}\frac{(\sqrt{x}-2)'}{(x-4)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to4}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{4}\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(2^x-1)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(2^x-1)'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{2^x\log2}{1}\)
\(\displaystyle =\log2\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(1-\cos x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}3x=0\)
\((3x)'=3\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)'}{(3x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3}\)
\(\displaystyle =0\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x-1)=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x+1)=\infty\)
\((x+1)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x-1}{x+1}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)'}{(x+1)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1}\)
\(\displaystyle =1\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(e^x-e^{-x})=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(e^x-e^{-x})'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{e^x+e^{-x}}{1}\)
\(\displaystyle =2\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin2x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin3x=0\)
\((\sin3x)'=3\cos3x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(\sin2x)'}{(\sin3x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x}{3\cos3x}\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(\cos x-1)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(\cos x-1)'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{1}\)
\(=0\)

前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin^{-1}x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin^{-1}x}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(\sin^{-1}x)'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1}\)
\(=1\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin^2x-x^2=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x^2\sin^2x=0\)
\((x^2\sin^2x)'=2x\sin^2x+x^2\sin2x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2}{x^2\sin^2x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(\sin^2x-x^2)'}{(x^2\sin^2x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{2x\sin^2x+x^2\sin2x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(\sin2x-2x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(2x\sin^2x+x^2\sin2x)=0\)
\((2x\sin^2x+x^2\sin2x)'\)
\(\ \ \ =2\sin^2x+4x\sin2x+2x\sin2x+2x^2\cos2x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin2x-2x}{2x\sin^2x+x^2\sin2x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(\sin2x-2x)'}{(2x\sin^2x+x^2\sin2x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-2}{2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(2\cos2x-2)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x)=0\)
\((2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x)'\)
\(\ \ \ =6\sin2x+12x\cos2x-4x^2\sin2x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{2\cos2x-2}{2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(2\cos2x-2)'}{(2\sin^2x+4x\sin2x+2x^2\cos2x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{-4\sin2x}{6\sin2x+12x\cos2x-4x^2\sin2x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(-4\sin2x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(6\sin2x+12x\cos2x-4x^2\sin2x)=0\)
\((6\sin2x+12x\cos2x-4x^2\sin2x)'\)
\(\ \ \ =24\cos2x-32x\sin2x+8x^2\cos2x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-4\sin2x}{6\sin2x+12x\cos2x-4x^2\sin2x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(-4\sin2x)'}{(6\sin2x+12x\cos2x-4x^2\sin2x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{-8\cos2x}{24\cos2x-32x\sin2x+8x^2\cos2x}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}e^{\cos x\log(1-\sin x)}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos x\log(1-\sin x)\)において
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\log(1-\sin x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos x}=0\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos x}\right)'=\frac{\sin x}{\cos^2x}\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\log(1-\sin x)}{\frac{1}{\cos x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\{\log(1-\sin x)\}'}{(\frac{1}{\cos x})'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\frac{-\cos x}{1-\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos^2x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\cos^3x}{\sin x(1-\sin x)}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}-\cos^3x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x(1-\sin x)=0\)
\(\displaystyle \{\sin x(1-\sin x)\}'=\cos x-\sin2x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-\cos^3x}{\sin x(1-\sin x)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{(-\cos^3x)'}{\{\sin x(1-\sin x)\}'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{3\cos^2x\sin x}{\cos x-\sin2x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}3\cos^2x\sin x=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\cos x-\sin2x)=0\)
\(\displaystyle (\cos x-\sin2x)'=-\sin x-2\cos2x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{3\cos^2x\sin x}{\cos x-\sin2x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{(3\cos^2x\sin x)'}{(\cos x-\sin2x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{-6\sin^2x\cos x+3\cos^3x}{-\sin x-2\cos2x}\)
\(=0\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{\cos x}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}e^{\cos x\log(1-\sin x)}=e^0=1\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0}e^{\frac{1}{x}\log(\frac{e^x-1}{x})}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log\left(\frac{e^x-1}{x}\right)\)において
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\log\frac{e^x-1}{x}=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}x=0\)
\((x)'=1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\log\frac{e^x-1}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(\log\frac{e^x-1}{x})'}{(x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\frac{xe^x-e^x+1}{x^2}}{\frac{e^x-1}{x}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{xe^x-e^x+1}{xe^x-x}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(xe^x-e^x+1)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(xe^x-x)=0\)
\((xe^x-x)'=xe^x+e^x-1\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{xe^x-e^x+1}{xe^x-x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(xe^x-e^x+1)'}{(xe^x-x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{xe^x}{xe^x+e^x-1}\)
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(xe^x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(xe^x+e^x-1)=0\)
\((xe^x+e^x-1)'=xe^x+e^x+e^x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{xe^x}{xe^x+e^x-1}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{(xe^x)'}{(xe^x+e^x-1)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{xe^x+e^x}{xe^x+2e^x}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}e^{\frac{1}{x}\log(\frac{e^x-1}{x})}=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}\)

\(\displaystyle =\lim_{x\to0}e^{\frac{1}{\sin x}\log(1-x)}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\log(1-x)}{\sin x}\)において
前提条件より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\log(1-x)=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\sin x=0\)
\((\sin x)'=\cos x\neq0\)
ロピタルの定理より
\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\log(1-x)}{\sin x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\{\log(1-x)\}'}{(\sin x)'}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\frac{-1}{1-x}}{\cos x}\)
\(=-1\)
よって、
\(\displaystyle \lim_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}e^{\frac{1}{\sin x}\log(1-x)}=e^{-1}=\frac{1}{e}\)