【微分積分】5-4-2 整級数の計算｜要点まとめ
このページでは、冪級数の一種である「整級数」の計算方法について整理します。整級数の基本的な扱い方を中心に、加法・減法・積、項別微分・項別積分を用いた計算手法や典型的な変形の考え方を解説します。収束半径との関係にも注意しながら、大学数学で頻出となる整級数計算の基本事項を体系的に理解していきましょう。
整級数の基本的な計算方法
【収束半径の基本定理】
\(3\)つの整級数
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\ \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^n,\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^n\)
の収束半径は等しい。
【項別微分・項別積分】
整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)の収束半径を\(0<\rho\leqq\infty\)とする。このとき、\(-\rho< x< \rho\)ならば以下が成り立つ。
・\(\displaystyle \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}\)
・\(\displaystyle \int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^ndt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\)
それぞれの右辺の整級数の収束半径も\(\rho\)であり、整級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)は\((-\rho,\rho)\)上で\(C^\infty\)級である。
【例題】次の定積分を求めなさい。
(1)\(\displaystyle \int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{3^n}x^ndx\)
\(\displaystyle a_n=\frac{n+1}{3^n}\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3^n}・\frac{3^{n+1}}{n+2}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)}{n+2}\)
\(\displaystyle =3\)
よって、\([0,1]\)上で一様収束してるので、項別積分可能。
\(\displaystyle \int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{3^n}x^ndx\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1\frac{n+1}{3^n}x^ndx\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{x^{n+1}}{3^n}\right]_0^1\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{1-\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle =\frac{3}{2}\)
(2)\(\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt\)
\(\sin t\)をマクローリン展開すると
\(\displaystyle \frac{\sin t}{t}=\frac{1}{t}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n+1}\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n}\)
\(\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)!}{(2n+1)!}\)
\(\displaystyle =\lim_{n\to\infty}(2n+2)(2n+3)\)
\(\displaystyle =\infty\)
よって、有界閉区間上で、項別積分可能。
\(\displaystyle =\int_0^x\frac{\sin t}{t}dt\)
\(\displaystyle =\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n}dt\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}t^{2n}dt\)
\(\displaystyle =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(2n+1)}x^{2n+1}\)
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