【微分積分】3-3-2 微分可能判定｜要点まとめ

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to+0}\frac{x|x|}{x}=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to-0}\frac{x|x|}{x}=0\)
よって、\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、
\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{x\log|x|}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\log|x|\)
\(=-\infty\)
\(f'(0)\)が有限値でないため、\(x=0\)で微分可能ではない。

\(\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{x\sin\frac{1}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}\)
振動して極限が存在しないため、\(x=0\)で微分可能ではない。

\(\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to+0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to+0}x\sin\frac{1}{x}\)
\(=0\)
\(\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to-0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x\to-0}x\sin\frac{1}{x}\)
\(=0\)
\(f'_+(0)=f'_-(0)\)より、\(x=0\)で微分可能。

\(\displaystyle f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}・\left(-\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\displaystyle =2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)
よって、
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\ \ \ (x\neq0) \\ 0\ \ \ (x=0)\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}\left(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\right)\)
\(\displaystyle -\cos\frac{1}{x}\)が振動して極限が存在しないため、\(x=0\)で連続ではない。

連続性をもつことから、\(f(1^+)=f(1^-)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}\frac{ax+b}{x+1}=\frac{a+b}{2}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}x^2+1=2\)
すなわち、\(\displaystyle \frac{a+b}{2}=2\)

微分可能なことから、\(f'(1^+)=f'(1^-)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1+0}\frac{a-b}{(x+1)^2}=\frac{a-b}{4}\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1-0}2x=2\)
すなわち、\(\displaystyle \frac{a-b}{4}=2\)

よって、連立方程式を解くと
\(a=6,b=-2\)