【微分積分】1-4-1 極限の公式｜問題集

\(\displaystyle \frac{a_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_k)=\frac{a_{n+1}-a_1}{n}\)
チェザロ平均より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_1}{n}=a\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{a_1}{n}\)
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =a+0=a\)
よって、添え字を1つずらしても極限は変わらないため
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=a\)

\(\displaystyle a_n=a_1・\frac{a_2}{a_1}・\frac{a_3}{a_2}\cdots\frac{a_n}{a_{n-1}}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_1・\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_1・a\)
両辺を\(n\)乗根すると、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1・a}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1\)より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a\)