【微分積分】3-4-4 高階微分の漸化式｜問題集
1.次の関数の\(f^{(n)}(0)\)を答えなさい。
(1)\(\displaystyle f(x)=\sin^{-1}x\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)より、
\(\sqrt{1-x^2}f'(x)=1\)
両辺を微分すると、
\((1-x^2)f''(x)-xf'(x)=0\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)であるので、
\(\{(1-x^2)f''(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(1-x^2)^{(k)}f^{(n-k+2)}(x)\)
\(=(1-x^2)f^{(n+2)}(x)+n・-2x・f^{(n+1)}(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{n(n-1)}{2}・-2・f^{(n)}(x)\)
\(=(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-2nxf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ -n(n-1)f^{(n)}(x)\)
\(\{-xf'(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =-\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x)^{(k)}f^{(n)}(x)\)
\(=-xf^{(n+1)}(x)-nf^{(n)}(x)\)
すなわち
\((1-x^2)f^{(n+2)}(x)-(2n+1)xf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ -n^2f^{(n)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(f^{(n+2)}(0)-n^2f^{(n)}(0)=0\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=0 \\ a_1=f'(0)=1 \\ a_{n+2}=n^2a_{n}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-2)^2a_{2n-2}=0\)
\(a_{2n-1}=(2n-3)^2a_{2n-3}=\{(2n-3)!!\}^2\)
よって、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=0 \\ \displaystyle f^{(2n-1)}(0)=\{(2n-3)!!\}^2\end{array}\right.\)
\(\sqrt{1-x^2}f'(x)=1\)
両辺を微分すると、
\((1-x^2)f''(x)-xf'(x)=0\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)であるので、
\(\{(1-x^2)f''(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(1-x^2)^{(k)}f^{(n-k+2)}(x)\)
\(=(1-x^2)f^{(n+2)}(x)+n・-2x・f^{(n+1)}(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{n(n-1)}{2}・-2・f^{(n)}(x)\)
\(=(1-x^2)f^{(n+2)}(x)-2nxf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ -n(n-1)f^{(n)}(x)\)
\(\{-xf'(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =-\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x)^{(k)}f^{(n)}(x)\)
\(=-xf^{(n+1)}(x)-nf^{(n)}(x)\)
すなわち
\((1-x^2)f^{(n+2)}(x)-(2n+1)xf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ -n^2f^{(n)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(f^{(n+2)}(0)-n^2f^{(n)}(0)=0\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=0 \\ a_1=f'(0)=1 \\ a_{n+2}=n^2a_{n}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-2)^2a_{2n-2}=0\)
\(a_{2n-1}=(2n-3)^2a_{2n-3}=\{(2n-3)!!\}^2\)
よって、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=0 \\ \displaystyle f^{(2n-1)}(0)=\{(2n-3)!!\}^2\end{array}\right.\)
(2)\(\displaystyle f(x)=\log{x+\sqrt{x^2+1}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)より、
\(\sqrt{x^2+1}f'(x)=1\)
両辺を微分すると、
\((x^2+1)f''(x)+xf'(x)=0\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)であるので、
\(\{(x^2+1)f''(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x^2+1)^{(k)}f^{(n-k+2)}(x)\)
\(=(x^2+1)f^{(n+2)}(x)+n・2x・f^{(n+1)}(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{n(n-1)}{2}・2・f^{(n)}(x)\)
\(=(x^2+1)f^{(n+2)}(x)+2nxf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ +n(n-1)f^{(n)}(x)\)
\(\{xf'(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x)^{(k)}f^{(n)}(x)\)
\(=xf^{(n+1)}(x)+nf^{(n)}(x)\)
すなわち
\((x^2+1)f^{(n+2)}(x)+(2n+1)xf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ +n^2f^{(n)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(f^{(n+2)}(0)+n^2f^{(n)}(0)=0\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=0 \\ a_1=f'(0)=1 \\ a_{n+2}=-n^2a_{n}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-2)^2a_{2n-2}=0\)
\(a_{2n-1}=(2n-3)^2a_{2n-3}=(-1)^{n-1}\{(2n-3)!!\}^2\)
よって、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=0 \\ \displaystyle f^{(2n-1)}(0)=(-1)^{n-1}\{(2n-3)!!\}^2\end{array}\right.\)
\(\sqrt{x^2+1}f'(x)=1\)
両辺を微分すると、
\((x^2+1)f''(x)+xf'(x)=0\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)であるので、
\(\{(x^2+1)f''(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x^2+1)^{(k)}f^{(n-k+2)}(x)\)
\(=(x^2+1)f^{(n+2)}(x)+n・2x・f^{(n+1)}(x)\)
\(\displaystyle \ \ \ \ \ +\frac{n(n-1)}{2}・2・f^{(n)}(x)\)
\(=(x^2+1)f^{(n+2)}(x)+2nxf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ +n(n-1)f^{(n)}(x)\)
\(\{xf'(x)\}^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_k(x)^{(k)}f^{(n)}(x)\)
\(=xf^{(n+1)}(x)+nf^{(n)}(x)\)
すなわち
\((x^2+1)f^{(n+2)}(x)+(2n+1)xf^{(n+1)}(x)\)
\(\ \ \ \ \ +n^2f^{(n)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(f^{(n+2)}(0)+n^2f^{(n)}(0)=0\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=0 \\ a_1=f'(0)=1 \\ a_{n+2}=-n^2a_{n}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-2)^2a_{2n-2}=0\)
\(a_{2n-1}=(2n-3)^2a_{2n-3}=(-1)^{n-1}\{(2n-3)!!\}^2\)
よって、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=0 \\ \displaystyle f^{(2n-1)}(0)=(-1)^{n-1}\{(2n-3)!!\}^2\end{array}\right.\)
(3)\(f(x)=\sqrt{1-x^2}\)
\(\{f(x)\}^2=1-x^2\)
両辺を微分すると、
\([\{f(x)\}^2]'=-2x\)
両辺を微分すると、
\([\{f(x)\}^2]''=-2\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)である(\(n\geqq3\)のとき)ので、
\([\{f(x)\}^2]^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kf^{(k)}(x)f^{(n-k)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kf^{(k)}(0)f^{(n-k)}(0)\)
\(=\left\{\begin{array}{l} 1\ (n=0) \\ -2\ (n=2)\\ 0\ (n\geqq3)\end{array}\right.\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=1 \\ a_1=f'(0)=0 \\ a_{2n}=(2n-1)(2n-3)a_{2n-2}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-1)(2n-3)a_{2n-2}\)
\(=-(2n-1)!!(2n-3)!!\)
\(a_{2n-1}=0\)
よって、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=-(2n-1)!!(2n-3)!! \\ \displaystyle f^{(2n-1)}(0)=0\end{array}\right.\)
両辺を微分すると、
\([\{f(x)\}^2]'=-2x\)
両辺を微分すると、
\([\{f(x)\}^2]''=-2\)
両辺を\(n\)回微分すると、右辺は\(0\)である(\(n\geqq3\)のとき)ので、
\([\{f(x)\}^2]^{(n)}\)
\(\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kf^{(k)}(x)f^{(n-k)}(x)=0\)
\(x=0\)を代入すると、
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_kf^{(k)}(0)f^{(n-k)}(0)\)
\(=\left\{\begin{array}{l} 1\ (n=0) \\ -2\ (n=2)\\ 0\ (n\geqq3)\end{array}\right.\)
すなわち
\(\left\{\begin{array}{l}a_0=f(0)=1 \\ a_1=f'(0)=0 \\ a_{2n}=(2n-1)(2n-3)a_{2n-2}\end{array}\right.\)
この漸化式を解くと、
\(a_{2n}=(2n-1)(2n-3)a_{2n-2}\)
\(=-(2n-1)!!(2n-3)!!\)
\(a_{2n-1}=0\)
よって、
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{l}f^{(2n)}(0)=-(2n-1)!!(2n-3)!! \\ \displaystyle f^{(2n-1)}(0)=0\end{array}\right.\)
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