【微分積分】1-2-1 級数の和｜要点まとめ
このページでは、大学数学・微分積分の「級数の和」について、要点をわかりやすくまとめています。数列の和と級数の違い、収束・発散の考え方、代表的な公式を例題とともに解説。級数の基本概念をしっかり理解したい人に役立ちます。
級数の定義と基本的な考え方
【級数】
(1)数列\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の各項を形式的に\(+\)でつないだ
\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots\)
を\(\{a_n\}_{n=1}^\infty\)の作る級数といい、\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と表す。
(2)第\(n\)項までの和\(\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\)を第n部分和という。
数列\(\{S_n\}_{n=1}^\infty\)が収束するか発散するかに応じて、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)は収束するか発散する。
部分和が収束する場合、\(\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n\)を級数の和といい、\(\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と書く。また、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\pm\infty\)となる場合も\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\pm\infty\)で表す。
【無限等比級数】
\(a\neq0\)とする。
(1)\(|r|<1\)のとき、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}\)は収束し、その和は\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\)
(2)\(|r|\geqq1\)のとき、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}\)は発散する。
【収束する級数の和】
\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とする。級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)と\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n\)が共に収束するとき、級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)\)も収束し、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\beta\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)
が成り立つ。
【例題】次の級数の和を求めなさい。
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{2^{n+1}}\)
であるから、
\(\displaystyle S_n-\frac{1}{2}S_n\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}S_n=\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}S_n=1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}S_n=1-\frac{n+2}{2^{n+1}}\)
\(\displaystyle S_n=2-\frac{n+2}{2^n}\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right)=2\)
\(\displaystyle S_n=\frac{2}{4}+\frac{5}{4^2}+\frac{8}{4^3}+\cdots+\frac{3n-1}{4^n}\)
\(\displaystyle \frac{1}{4}S_n=\frac{2}{4^2}+\frac{5}{4^3}+\cdots+\frac{3n-4}{4^n}+\frac{3n-1}{4^{n+1}}\)
であるから、
\(\displaystyle S_n-\frac{1}{4}S_n\)
\(\displaystyle \ \ \ =\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\cdots+\frac{3}{4^n}-\frac{3n-1}{4^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}S_n=\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{16}(1-\frac{1}{4^{n-1}})}{1-\frac{1}{4}}-\frac{3n-1}{4^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}S_n=\frac{3}{4}-\frac{1}{4^n}-\frac{3n-1}{4^{n+1}}\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}S_n=\frac{3}{4}-\frac{3n+3}{4^{n+1}}\)
\(\displaystyle S_n=1-\frac{n+1}{4^n}\)
よって、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{2^{2n}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{n+1}{4^n}\right)=1\)